傅里叶互反公式英文解释翻译、傅里叶互反公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Fourier reciprocal formula

分词翻译：

里的英语翻译：

inner; liner; lining; neighbourhood
【法】 knot; sea mile

叶的英语翻译：

leaf; foliage; frondage; part of a historical period
【医】 foil; Fol.; folia; folium; frond; leaf; lobe; lobi; lobus; petalo-
phyllo-

互反公式的英语翻译：

【计】 reciprocity formula

专业解析

傅里叶互反公式（Fourier reciprocity formula）是信号处理与数学物理中的核心定理，描述傅里叶变换与其逆变换的对称关系。其汉英对照定义为：

中文术语：傅里叶互反公式
英文术语：Fourier Inversion Theorem

数学定义与公式

对于函数$f(x)$及其傅里叶变换$hat{f}(xi)$，公式可表示为：

f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} int{-infty}^{infty} hat{f}(xi) e^{ixi x} dxi

$$

同时，傅里叶变换定义为：

$$

hat{f}(xi) = frac{1}{sqrt{2pi}} int{-infty}^{infty} f(x) e^{-ixi x} dx

两者共同构成“互反关系”，即连续两次变换可恢复原函数（相差常数因子）。

应用领域

信号处理：用于时域与频域信号的双向转换，例如通信系统中的频谱分析。
量子力学：在波函数与动量空间中建立对偶性。
图像处理：JPEG压缩算法依赖离散余弦变换（傅里叶变换的特例）。

物理意义

该公式揭示了信号的全局频率特性与局部时域行为的等价性，其核心思想为“分解与重构”。

参考来源：

《数学物理方法》（Arfken, G.B., 2013）
IEEE信号处理协会（https://signalprocessingsociety.org）
斯坦福大学傅里叶变换公开课
MathWorld傅里叶变换词条（https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html）
《通信原理》（Proakis, J.G., 2008）

网络扩展解释

傅里叶互反公式（Fourier reciprocity）是傅里叶变换的核心性质之一，描述了函数与其傅里叶变换之间的对称关系。以下是详细解释：

1.数学表达式

对于函数( f(x) )及其傅里叶变换( hat{f}(xi) )，互反公式体现为： $$ f(x) = int{-infty}^{infty} hat{f}(xi) e^{2pi i xxi} dxi quad text{（逆变换）} hat{f}(xi) = int{-infty}^{infty} f(x) e^{-2pi i xxi} dx quad text{（正变换）} $$ 这两个公式表明，正变换与逆变换的积分核仅差一个符号，且通过两次变换可恢复原函数。

2.物理意义

对偶性：时域（如信号随时间变化）与频域（信号频率分布）通过傅里叶变换相互映射。
能量守恒：根据帕塞瓦尔定理，信号在时域和频域的能量总量相等，即： $$ int{-infty}^{infty} |f(x)| dx = int{-infty}^{infty} |hat{f}(xi)| dxi $$

3.归一化系数的差异

不同学科对傅里叶变换的定义可能不同：

数学领域：常用( frac{1}{sqrt{2pi}} )作为正逆变换的归一化系数，使公式完全对称。
工程领域：通常省略归一化系数，直接使用( e^{-iomega t} )和( e^{iomega t} )。

4.应用举例

矩形函数与sinc函数：矩形脉冲的傅里叶变换是sinc函数，而sinc函数的逆变换又恢复为矩形函数。
微分方程求解：通过傅里叶变换将微分方程转为代数方程，求解后再逆变换回原空间。

5.注意事项

函数需满足绝对可积（( int |f(x)| dx < infty )）或平方可积条件。
广义函数（如狄拉克δ函数）可扩展傅里叶变换的应用范围。

这一公式是信号处理、量子力学和偏微分方程等领域的基础工具，实现了时域与频域的高效转换。