傅裡葉互反公式英文解釋翻譯、傅裡葉互反公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Fourier reciprocal formula

分詞翻譯：

裡的英語翻譯：

inner; liner; lining; neighbourhood
【法】 knot; sea mile

葉的英語翻譯：

leaf; foliage; frondage; part of a historical period
【醫】 foil; Fol.; folia; folium; frond; leaf; lobe; lobi; lobus; petalo-
phyllo-

互反公式的英語翻譯：

【計】 reciprocity formula

專業解析

傅裡葉互反公式（Fourier reciprocity formula）是信號處理與數學物理中的核心定理，描述傅裡葉變換與其逆變換的對稱關系。其漢英對照定義為：

中文術語：傅裡葉互反公式
英文術語：Fourier Inversion Theorem

數學定義與公式

對于函數$f(x)$及其傅裡葉變換$hat{f}(xi)$，公式可表示為：

f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} int{-infty}^{infty} hat{f}(xi) e^{ixi x} dxi

$$

同時，傅裡葉變換定義為：

$$

hat{f}(xi) = frac{1}{sqrt{2pi}} int{-infty}^{infty} f(x) e^{-ixi x} dx

兩者共同構成“互反關系”，即連續兩次變換可恢複原函數（相差常數因子）。

應用領域

信號處理：用于時域與頻域信號的雙向轉換，例如通信系統中的頻譜分析。
量子力學：在波函數與動量空間中建立對偶性。
圖像處理：JPEG壓縮算法依賴離散餘弦變換（傅裡葉變換的特例）。

物理意義

該公式揭示了信號的全局頻率特性與局部時域行為的等價性，其核心思想為“分解與重構”。

參考來源：

《數學物理方法》（Arfken, G.B., 2013）
IEEE信號處理協會（https://signalprocessingsociety.org）
斯坦福大學傅裡葉變換公開課
MathWorld傅裡葉變換詞條（https://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html）
《通信原理》（Proakis, J.G., 2008）

網絡擴展解釋

傅裡葉互反公式（Fourier reciprocity）是傅裡葉變換的核心性質之一，描述了函數與其傅裡葉變換之間的對稱關系。以下是詳細解釋：

1.數學表達式

對于函數( f(x) )及其傅裡葉變換( hat{f}(xi) )，互反公式體現為： $$ f(x) = int{-infty}^{infty} hat{f}(xi) e^{2pi i xxi} dxi quad text{（逆變換）} hat{f}(xi) = int{-infty}^{infty} f(x) e^{-2pi i xxi} dx quad text{（正變換）} $$ 這兩個公式表明，正變換與逆變換的積分核僅差一個符號，且通過兩次變換可恢複原函數。

2.物理意義

對偶性：時域（如信號隨時間變化）與頻域（信號頻率分布）通過傅裡葉變換相互映射。
能量守恒：根據帕塞瓦爾定理，信號在時域和頻域的能量總量相等，即： $$ int{-infty}^{infty} |f(x)| dx = int{-infty}^{infty} |hat{f}(xi)| dxi $$

3.歸一化系數的差異

不同學科對傅裡葉變換的定義可能不同：

數學領域：常用( frac{1}{sqrt{2pi}} )作為正逆變換的歸一化系數，使公式完全對稱。
工程領域：通常省略歸一化系數，直接使用( e^{-iomega t} )和( e^{iomega t} )。

4.應用舉例

矩形函數與sinc函數：矩形脈沖的傅裡葉變換是sinc函數，而sinc函數的逆變換又恢複為矩形函數。
微分方程求解：通過傅裡葉變換将微分方程轉為代數方程，求解後再逆變換回原空間。

5.注意事項

函數需滿足絕對可積（( int |f(x)| dx < infty )）或平方可積條件。
廣義函數（如狄拉克δ函數）可擴展傅裡葉變換的應用範圍。

這一公式是信號處理、量子力學和偏微分方程等領域的基礎工具，實現了時域與頻域的高效轉換。