符号上界英文解释翻译、符号上界的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 upper bound of symbol

分词翻译：

号的英语翻译：

mark; size; business house; date; howl; name; number; wail; yell

上界的英语翻译：

【计】 upper bound

专业解析

在数学分析中，符号上界（英文通常对应Supremum 或Least Upper Bound）是一个描述集合或函数在特定范围内“最大可能值”的核心概念。它特指一个集合的所有上界中最小的那个数，或者一个函数在定义域某个子集上所有取值的上界中最小的那个数。

以下是其详细解释：

基本定义：
- 对于一个实数集 ( S subseteq mathbb{R} )，如果存在一个实数 ( M ) 使得对所有 ( x in S ) 都有 ( x leq M )，则称 ( M ) 是 ( S ) 的一个上界。
- ( S ) 的上确界（符号上界）( sup S ) 是指满足以下两个条件的实数：
  - ( sup S ) 是 ( S ) 的一个上界（即对所有 ( x in S )，有 ( x leq sup S )）。
  - ( sup S ) 是 ( S ) 的所有上界中最小的一个（即对任意 ( epsilon > 0 )，存在某个 ( x in S ) 使得 ( x > sup S - epsilon )）。这意味着任何比 ( sup S ) 小的数都不再是 ( S ) 的上界。
- 用数学符号表示为： $$ sup S = min { M in mathbb{R} mid x leq M text{ for all } x in S } $$
- 如果集合 ( S ) 本身没有上界，则规定 ( sup S = +infty )。如果 ( S ) 是空集，有时规定 ( sup S = -infty )，但这并非绝对统一。
与最大值的区别：
- 最大值（如果存在）必须是集合 ( S ) 中的一个元素。
- 上确界 ( sup S ) 则不一定是 ( S ) 中的元素。只有当上确界本身属于 ( S ) 时，它才同时是最大值。
- 例子：考虑开区间 ( S = (0, 1) )。
  - 这个集合没有最大值（因为对于任意接近1的数，比如0.999，总能在(0,1)内找到比它更大的数，比如0.9995）。
  - 但是，1是它的一个上界，并且是最小的上界（因为任何小于1的数，比如0.999，都不是上界，因为0.9995 > 0.999 且 0.9995 ∈ (0,1)）。因此，( sup S = 1 )。这里上确界1不在集合S中。
函数的符号上界：
- 对于一个定义在集合 ( D ) 上的实值函数 ( f: D to mathbb{R} ) 和 ( D ) 的一个子集 ( A subseteq D )，函数 ( f ) 在 ( A ) 上的上确界（符号上界）定义为函数值集合 ( { f(x) mid x in A } ) 的上确界： $$ sup_{x in A} f(x) = sup { f(x) mid x in A } $$
- 它表示函数 ( f ) 在子集 ( A ) 上所能达到的“最高高度”或理论上限，无论这个高度是否被实际达到。
重要性：
- 上确界是实数完备性公理（任何有上界的非空实数集必有上确界）的关键体现。
- 它在数学分析的基础理论（如极限、连续性、积分、级数收敛性）中扮演着不可或缺的角色。
- 它比最大值更广泛地存在（有上界的集合必有上确界，但不一定有最大值）。

权威参考来源：

《数学分析原理》 (Principles of Mathematical Analysis) - Walter Rudin：被誉为分析学的经典教材，在第一章“实数与复数”中对上确界和下确界有清晰、严格的定义和讨论。这是数学专业广泛使用的标准参考书。
《实分析与概率论》 (Real and Complex Analysis) - Walter Rudin：同样由Rudin所著，在更广泛的背景下（如测度论）也会涉及上确界的概念。
《实分析》 (Real Analysis) - H.L. Royden & P.M. Fitzpatrick：另一本广泛使用的分析学教材，在介绍实数系和Lebesgue积分时都会详细阐述上确界。
《高等微积分》 (Advanced Calculus) - R. Creighton Buck：许多大学的高等微积分或数学分析课程教材，会包含对上下确界的详细讲解。
《数学分析》 (Mathematical Analysis) - Tom M. Apostol：内容全面严谨的分析学教材，对实数理论和极限基础中的上确界概念有深入阐述。

理解符号上界（上确界）的概念对于掌握高等数学，特别是分析学的精髓至关重要。它精确地刻画了集合或函数在特定范围内的“最小上界”这一核心属性。建议查阅上述权威教材的相关章节（通常集中在介绍实数系的早期章节）以获得最严谨的定义、证明和应用实例。

网络扩展解释

在数学中，“符号上界”通常指集合或函数的上限值，具体解释如下：

一、数学分析中的上界

定义
对于实数集的一个子集$S$，若存在实数$M$，使得对任意元素$x in S$，都有$x leq M$，则称$M$是$S$的上界。若上界是所有可能上界中的最小值，则称为上确界（最小上界）。
符号表示
- 一般用大写字母（如$M$）表示上界，例如：$f(x) leq M$。
- 在求和符号$sum$中，上标通常表示求上限，例如$sum_{i=1}^n$表示从$i=1$累加到$i=n$。
无界情况
若集合没有上界，则称其为无界，即对于任意实数$M$，总存在$x in S$使得$x > M$。

二、算法复杂度中的符号

在算法分析中，符号“上界”有特定含义：

大O符号（$O$）：表示函数的渐进上界，即算法的最坏时间复杂度。例如$O(n)$表示时间复杂度不超过$n$量级。
小o符号（$o$）：表示非紧确上界，即严格小于某个函数增长速率。

三、其他领域中的“上界”

文学/宗教：指“天界”或神仙居所（如、4、5），但此含义与数学无关。

符号上界在不同领域有不同含义，数学中主要描述集合或函数的最高限制值，算法中则用$O$等符号表示性能上限。需结合具体上下文理解。