符號上界英文解釋翻譯、符號上界的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 upper bound of symbol

分詞翻譯：

號的英語翻譯：

mark; size; business house; date; howl; name; number; wail; yell

上界的英語翻譯：

【計】 upper bound

專業解析

在數學分析中，符號上界（英文通常對應Supremum 或Least Upper Bound）是一個描述集合或函數在特定範圍内“最大可能值”的核心概念。它特指一個集合的所有上界中最小的那個數，或者一個函數在定義域某個子集上所有取值的上界中最小的那個數。

以下是其詳細解釋：

基本定義：
- 對于一個實數集 ( S subseteq mathbb{R} )，如果存在一個實數 ( M ) 使得對所有 ( x in S ) 都有 ( x leq M )，則稱 ( M ) 是 ( S ) 的一個上界。
- ( S ) 的上确界（符號上界）( sup S ) 是指滿足以下兩個條件的實數：
  - ( sup S ) 是 ( S ) 的一個上界（即對所有 ( x in S )，有 ( x leq sup S )）。
  - ( sup S ) 是 ( S ) 的所有上界中最小的一個（即對任意 ( epsilon > 0 )，存在某個 ( x in S ) 使得 ( x > sup S - epsilon )）。這意味着任何比 ( sup S ) 小的數都不再是 ( S ) 的上界。
- 用數學符號表示為： $$ sup S = min { M in mathbb{R} mid x leq M text{ for all } x in S } $$
- 如果集合 ( S ) 本身沒有上界，則規定 ( sup S = +infty )。如果 ( S ) 是空集，有時規定 ( sup S = -infty )，但這并非絕對統一。
與最大值的區别：
- 最大值（如果存在）必須是集合 ( S ) 中的一個元素。
- 上确界 ( sup S ) 則不一定是 ( S ) 中的元素。隻有當上确界本身屬于 ( S ) 時，它才同時是最大值。
- 例子：考慮開區間 ( S = (0, 1) )。
  - 這個集合沒有最大值（因為對于任意接近1的數，比如0.999，總能在(0,1)内找到比它更大的數，比如0.9995）。
  - 但是，1是它的一個上界，并且是最小的上界（因為任何小于1的數，比如0.999，都不是上界，因為0.9995 > 0.999 且 0.9995 ∈ (0,1)）。因此，( sup S = 1 )。這裡上确界1不在集合S中。
函數的符號上界：
- 對于一個定義在集合 ( D ) 上的實值函數 ( f: D to mathbb{R} ) 和 ( D ) 的一個子集 ( A subseteq D )，函數 ( f ) 在 ( A ) 上的上确界（符號上界）定義為函數值集合 ( { f(x) mid x in A } ) 的上确界： $$ sup_{x in A} f(x) = sup { f(x) mid x in A } $$
- 它表示函數 ( f ) 在子集 ( A ) 上所能達到的“最高高度”或理論上限，無論這個高度是否被實際達到。
重要性：
- 上确界是實數完備性公理（任何有上界的非空實數集必有上确界）的關鍵體現。
- 它在數學分析的基礎理論（如極限、連續性、積分、級數收斂性）中扮演着不可或缺的角色。
- 它比最大值更廣泛地存在（有上界的集合必有上确界，但不一定有最大值）。

權威參考來源：

《數學分析原理》 (Principles of Mathematical Analysis) - Walter Rudin：被譽為分析學的經典教材，在第一章“實數與複數”中對上确界和下确界有清晰、嚴格的定義和讨論。這是數學專業廣泛使用的标準參考書。
《實分析與概率論》 (Real and Complex Analysis) - Walter Rudin：同樣由Rudin所著，在更廣泛的背景下（如測度論）也會涉及上确界的概念。
《實分析》 (Real Analysis) - H.L. Royden & P.M. Fitzpatrick：另一本廣泛使用的分析學教材，在介紹實數系和Lebesgue積分時都會詳細闡述上确界。
《高等微積分》 (Advanced Calculus) - R. Creighton Buck：許多大學的高等微積分或數學分析課程教材，會包含對上下确界的詳細講解。
《數學分析》 (Mathematical Analysis) - Tom M. Apostol：内容全面嚴謹的分析學教材，對實數理論和極限基礎中的上确界概念有深入闡述。

理解符號上界（上确界）的概念對于掌握高等數學，特别是分析學的精髓至關重要。它精确地刻畫了集合或函數在特定範圍内的“最小上界”這一核心屬性。建議查閱上述權威教材的相關章節（通常集中在介紹實數系的早期章節）以獲得最嚴謹的定義、證明和應用實例。

網絡擴展解釋

在數學中，“符號上界”通常指集合或函數的上限值，具體解釋如下：

一、數學分析中的上界

定義
對于實數集的一個子集$S$，若存在實數$M$，使得對任意元素$x in S$，都有$x leq M$，則稱$M$是$S$的上界。若上界是所有可能上界中的最小值，則稱為上确界（最小上界）。
符號表示
- 一般用大寫字母（如$M$）表示上界，例如：$f(x) leq M$。
- 在求和符號$sum$中，上标通常表示求上限，例如$sum_{i=1}^n$表示從$i=1$累加到$i=n$。
無界情況
若集合沒有上界，則稱其為無界，即對于任意實數$M$，總存在$x in S$使得$x > M$。

二、算法複雜度中的符號

在算法分析中，符號“上界”有特定含義：

大O符號（$O$）：表示函數的漸進上界，即算法的最壞時間複雜度。例如$O(n)$表示時間複雜度不超過$n$量級。
小o符號（$o$）：表示非緊确上界，即嚴格小于某個函數增長速率。

三、其他領域中的“上界”

文學/宗教：指“天界”或神仙居所（如、4、5），但此含義與數學無關。

符號上界在不同領域有不同含義，數學中主要描述集合或函數的最高限制值，算法中則用$O$等符號表示性能上限。需結合具體上下文理解。