复数乘法英文解释翻译、复数乘法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 complex multiplication

分词翻译：

复数的英语翻译：

complex number; plural; pluralism; plurality
【计】 complex number
【经】 complex number

乘法的英语翻译：

multiplication
【机】 multiplication

专业解析

复数乘法是复数的基本运算之一，其数学定义和几何意义如下：

一、数学定义

设两个复数 ( z_1 = a + bi ) 和 ( z_2 = c + di )（其中 ( a, b, c, d in mathbb{R} )，( i ) 为虚数单位），它们的乘积为： [ z_1 times z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ] 这一结果可通过分配律展开后合并实部与虚部得到（实部：( ac - bd )；虚部：( ad + bc )）。复数乘法满足交换律、结合律和对加法的分配律。

二、几何意义（极坐标形式）

若用极坐标表示复数：

• ( z_1 = r_1 (cos theta_1 + i sin theta_1) )
• ( z_2 = r_2 (cos theta_2 + i sin theta_2) ) 则乘积为： [ z_1 times z_2 = r_1 r_2 left[ cos (theta_1 + theta_2) + i sin (theta_1 + theta_2) right] ] 即模长相乘（( |z_1 z_2| = |z_1| cdot |z_2| )），辐角相加（( arg(z_1 z_2) = arg z_1 + arg z_2 )）。这一性质在电路分析、信号处理中具有重要应用。

三、汉英术语对照

参考资料

1. 丘维声，《高等代数》（高等教育出版社），复数运算章节。
2. James Stewart, Calculus: Early Transcendentals (Cengage Learning)，复数极坐标部分。

网络扩展解释

复数乘法是指两个复数相乘的运算，具有代数和几何两方面的意义。以下是详细解释：

一、代数定义

设两个复数为 ( z_1 = a + bi ) 和 ( z_2 = c + di )，它们的乘积为： $$ begin{aligned} z_1 times z_2 &= (a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci + bdi &= (ac - bd) + (ad + bc)i quad (text{因为 } i = -1) end{aligned} $$ 关键步骤：

1. 按分配律展开相乘；
2. 合并实部 ( (ac - bd) ) 和虚部 ( (ad + bc) )；
3. 将 ( i ) 替换为 (-1)。

二、几何意义（极坐标形式）

复数可表示为模长 ( r ) 和角度 ( theta )：( z = r(costheta + isintheta) ) 或 ( z = re^{itheta} )。
两个复数相乘的几何效果是：

1. 模长相乘：( |z_1 times z_2| = |z_1| cdot |z_2| )；
2. 角度相加：( arg(z_1 times z_2) = arg(z_1) + arg(z_2) )。

例如，复数 ( z = e^{ipi/2} )（即 ( i )）乘以任意复数，相当于将该复数对应的向量旋转90度。

三、应用场景

1. 信号处理：用于傅里叶变换中的频域运算；
2. 电路分析：计算交流电路的阻抗与相位；
3. 几何变换：实现旋转、缩放等线性变换。

四、注意事项

• 计算时需注意虚数单位 ( i ) 的平方处理；
• 极坐标形式下要确保角度单位一致（弧度或角度制）。

通过代数和几何的双重理解，复数乘法成为工程与物理中描述旋转、振荡等现象的重要工具。

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