反雙曲函數英文解釋翻譯、反雙曲函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 inverse hyperbolic function

分詞翻譯：

反的英語翻譯：

in reverse; on the contrary; turn over
【醫】 contra-; re-; trans-

雙的英語翻譯：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

反雙曲函數是雙曲函數的逆運算，在數學分析和工程應用中具有重要價值。以下從漢英對照與數學定義兩個維度解析其核心概念：

一、核心函數分類

反雙曲正弦函數（arsinh/arcsinh）
定義為雙曲正弦函數的反函數，數學表達式為：

$$

text{arsinh}(x) = lnleft(x + sqrt{x + 1}right)

$$

該函數在積分運算和微分方程中常用于簡化根式結構。
反雙曲餘弦函數（arcosh/arccosh）
僅適用于$x geq 1$，其表達式為：

$$

text{arcosh}(x) = lnleft(x + sqrt{x - 1}right)

$$

在懸鍊線方程和電磁場理論中描述空間曲線時發揮關鍵作用（參考：Springer《工程數學手冊》）。
反雙曲正切函數（artanh/arctanh）
定義域為$(-1,1)$，數學形式為：

$$

text{artanh}(x) = frac{1}{2}lnleft(frac{1+x}{1-x}right)

$$

常見于概率論中的logit變換和熱力學參數轉換（來源：Cambridge University Press《高等應用數學》）。

二、跨學科應用

物理領域：狹義相對論中的速度疊加公式通過artanh函數表達
工程建模：雙曲函數及其反函數共同描述電纜自然下垂形态
金融數學：arsinh函數用于改進Black-Scholes模型中的波動率曲面拟合

注：具體函數符號存在區域差異，美式标注常使用"arc-"前綴（如arcsinh），而國際标準推薦"ar-"縮寫（如arsinh）。

網絡擴展解釋

反雙曲函數是雙曲函數的反函數，其前綴“ar”代表面積（area），與反三角函數的“arc”（弧）形成對比。以下是詳細解釋：

1.定義與命名來源

雙曲函數（如 $sinh x$、$cosh x$）的反函數統稱為反雙曲函數，包括反雙曲正弦（$text{arsinh},x$）、反雙曲餘弦（$text{arcosh},x$）等。
命名中的“ar”源于雙曲角的定義方式：雙曲角由雙曲線、原點直線與x軸映射所圍面積決定，而非圓弧長度。

2.主要反雙曲函數及公式

反雙曲正弦
定義域：全體實數 $mathbb{R}$
公式：$text{arsinh},x = lnleft(x + sqrt{x + 1}right)$
性質：奇函數，單調遞增。
反雙曲餘弦
定義域：$x geq 1$
公式：$text{arcosh},x = lnleft(x + sqrt{x - 1}right)$
性質：非奇非偶，僅在 $x geq 1$ 時單增。
反雙曲正切
定義域：$-1 < x < 1$
公式：$text{artanh},x = frac{1}{2} lnleft(frac{1+x}{1-x}right)$
性質：奇函數，單調遞增。

3.與反三角函數的區别

幾何意義：反三角函數對應圓弧角，而反雙曲函數對應雙曲角（面積）。
函數特性：反雙曲函數多通過對數函數表達，定義域和值域與反三角函數不同（如 $text{arcosh},x$ 定義域為 $[1,+infty)$）。

4.應用領域

反雙曲函數常見于物理和工程問題，如懸鍊線方程、電磁學中的波動解等。

如需進一步了解其他反雙曲函數（如反雙曲餘切、正割等），可參考中的完整公式列表。