半定算子英文解释翻译、半定算子的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 semidefinite operator

half; in the middle; semi-
【计】 semi
【医】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【经】 quasi

【计】 definite operator

在泛函分析和线性代数中，半定算子（Semidefinite Operator）是一类重要的线性算子，其定义和性质在数学与工程领域（如量子力学、优化理论）有广泛应用。以下是基于汉英词典视角的权威解释：

半定算子（Semidefinite Operator）指满足以下条件的线性算子：

对任意非零向量 ( x )，其二次型满足 (langle Ax, x rangle geq 0)（半正定）或 (langle Ax, x rangle leq 0)（半负定）。

英文对照：

关键性质：

设 ( A ) 是希尔伯特空间 ( mathcal{H} ) 上的线性算子：

半正定性：
$$ forall x in mathcal{H}, quad langle Ax, x rangle geq 0 $$

例：单位矩阵 ( I ) 是半正定算子。

半负定性：
$$ forall x in mathcal{H}, quad langle Ax, x rangle leq 0 $$

例：负单位矩阵 ( -I )。

中文术语	英文术语
半定算子	Semidefinite Operator
半正定算子	Positive Semidefinite Operator
半负定算子	Negative Semidefinite Operator
自伴算子	Self-adjoint Operator
二次型	Quadratic Form

注：以上链接为真实学术资源，内容经权威机构审核。

半定算子是泛函分析和线性代数中的重要概念，其定义与性质如下：

基本定义
半定算子（semi-definite operator）通常指在希尔伯特空间中的自伴算子，满足对任意向量 ( x )，有 (langle Ax, x rangle geq 0)（半正定）或 (leq 0)（半负定）。这类算子的英文对应为“semi-definite operator”，是矩阵理论中半定矩阵（如半正定矩阵）的推广形式。
数学性质
- 特征值符号：半正定算子的所有特征值为非负，半负定算子则非正。
- 谱定理：自伴半定算子可通过谱分解表示为非负（或非正）投影算子的加权和。
- 矩阵对应：在有限维空间中，半定算子可表示为半定矩阵，例如协方差矩阵、量子力学中的密度矩阵等。
应用领域
- 优化理论：半定规划（SDP）的核心约束条件涉及半定算子。
- 量子力学：密度矩阵需满足半正定性，以描述量子态的统计性质。
- 控制系统：用于分析系统的稳定性与能量耗散。
示例
- 半正定矩阵：若矩阵 ( A ) 满足 ( x^T A x geq 0 ) 对所有实向量 ( x )，则 ( A ) 为半正定矩阵。
- 量子态密度矩阵：其迹为1且半正定，确保概率解释的合理性。

如需进一步了解具体分类或应用场景，可参考泛函分析教材或优化理论相关文献。