等距映象英文解释翻译、等距映象的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 isometric mapping

分词翻译：

等的英语翻译：

class; grade; rank; wait; when
【机】 iso-

距的英语翻译：

be apart from; distance
【医】 calcar; calcaria

映象的英语翻译：

【计】 map

专业解析

在数学领域，"等距映象"（Isometric Mapping / Isometry）是一个核心概念，指在两个度量空间之间保持距离不变的映射。以下是其详细解释：

一、核心定义设 $(M, d_M)$ 和 $(N, d_N)$ 是两个度量空间。一个映射 $f: M to N$ 被称为等距映象，当且仅当它满足： $$ forall x, y in M, quad d_N(f(x), f(y)) = d_M(x, y) $$ 这意味着映射 $f$ 精确地保持了任意两点间的距离。在欧几里得空间中，等距映象必然是仿射变换（平移、旋转、反射及其组合）。

二、关键性质

保持距离：这是最本质的特征，如上定义所述。
单射性：若 $f(a) = f(b)$，则 $d_N(f(a), f(b)) = 0$，故 $d_M(a, b) = 0$，即 $a = b$。因此等距映象必然是单射（一对一）。
保持内积（在赋范空间）：在实内积空间（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$）中，等距线性变换（线性算子）不仅保持距离，还保持内积不变：$langle f(x), f(y) rangle = langle x, y rangle$。这源于距离与内积的关系（$|x - y| = langle x - y, x - y rangle$）。
保持范数：由保持距离和内积的性质可推出，等距线性变换保持向量的范数：$|f(x)| = |x|$。
未必满射：等距映象不一定是满射（映上）。若 $f$ 是满射的等距映象，则称其为等距同构，此时 $f$ 存在逆映射 $f^{-1}$，且 $f^{-1}$ 也是等距映象。$M$ 和 $N$ 称为等距同构的度量空间。

三、应用场景等距映象在多个数学分支和实际应用中至关重要：

几何学：定义刚体运动（平移、旋转、反射），研究图形的全等性。
泛函分析：研究赋范线性空间、希尔伯特空间的结构和算子理论。例如，希尔伯特空间上的酉算子（Unitary Operator）是满射的等距线性算子。
微分几何：研究黎曼流形间的等距映射，保持黎曼度量（即弧长）不变。
编码理论：等距编码用于设计能保持信号或数据距离的传输方案。

四、汉英术语对照

等距映象 (Děngjù Yìngxiàng)： Isometric Mapping / Isometry
度量空间 (Dùliàng Kōngjiān)： Metric Space
距离 (Jùlí)： Distance
单射 (Dànshè)： Injective / One-to-one
满射 (Mǎnshè)： Surjective / Onto
等距同构 (Děngjù Tónggòu)： Isometric Isomorphism
内积 (Nèijī)： Inner Product
范数 (Fànshù)： Norm
线性算子 (Xiànxìng Suànzǐ)： Linear Operator
酉算子 (Yǒu Suànzǐ)： Unitary Operator

参考文献

Weisstein, Eric W. "Isometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Isometry.html (Accessed July 30, 2025).
Deza, M. M., & Deza, E. (2013). Encyclopedia of Distances (2nd ed.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Chapter 1: General Definitions. DOI: 10.1007/978-3-642-30958-8.
Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer International Publishing. Chapter 7: Operators on Inner Product Spaces. DOI: 10.1007/978-3-319-11080-6.

网络扩展解释

等距映象（等距映射）是微分几何中的一个核心概念，指两个曲面或空间之间存在一种保持距离不变的映射关系。以下是详细解释：

1.数学定义

等距映象要求两个曲面在参数变换后保持所有曲线弧长不变。具体表现为：若曲面$S$和$S'$之间存在等距映射，则它们的第一基本形式（即曲面的度量性质）必须完全相同。数学上可表示为：
$$ E = E', quad F = F', quad G = G' $$ 其中$E, F, G$和$E', F', G'$分别为两曲面的第一基本形式系数。

2.直观理解

等距映象可类比为不拉伸、不压缩的连续弯曲。例如，将圆柱面沿母线剪开后展开为平面，圆柱面与平面之间的映射即为等距映象。此时，圆柱面上的任意两点距离在平面上保持不变，但高斯曲率可能不同（平面曲率为0，圆柱面为非零）。

3.应用领域

在机械设计中，等距映象用于曲面展开（如钣金下料）。通过将柱面、锥面等直纹曲面等距映射到平面，可生成精确的展开样板，避免材料变形，提高加工质量。

4.与“映象”的关联

“映象”一般指通过感官形成的形象（如艺术创作中的虚构场景），但在数学术语中，“等距映象”特指严格保持几何结构的映射关系，需结合上下文区分。