等距映象英文解釋翻譯、等距映象的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 isometric mapping

分詞翻譯：

等的英語翻譯：

class; grade; rank; wait; when
【機】 iso-

距的英語翻譯：

be apart from; distance
【醫】 calcar; calcaria

映象的英語翻譯：

【計】 map

專業解析

在數學領域，"等距映象"（Isometric Mapping / Isometry）是一個核心概念，指在兩個度量空間之間保持距離不變的映射。以下是其詳細解釋：

一、核心定義設 $(M, d_M)$ 和 $(N, d_N)$ 是兩個度量空間。一個映射 $f: M to N$ 被稱為等距映象，當且僅當它滿足： $$ forall x, y in M, quad d_N(f(x), f(y)) = d_M(x, y) $$ 這意味着映射 $f$ 精确地保持了任意兩點間的距離。在歐幾裡得空間中，等距映象必然是仿射變換（平移、旋轉、反射及其組合）。

二、關鍵性質

保持距離：這是最本質的特征，如上定義所述。
單射性：若 $f(a) = f(b)$，則 $d_N(f(a), f(b)) = 0$，故 $d_M(a, b) = 0$，即 $a = b$。因此等距映象必然是單射（一對一）。
保持内積（在賦範空間）：在實内積空間（如歐幾裡得空間 $mathbb{R}^n$）中，等距線性變換（線性算子）不僅保持距離，還保持内積不變：$langle f(x), f(y) rangle = langle x, y rangle$。這源于距離與内積的關系（$|x - y| = langle x - y, x - y rangle$）。
保持範數：由保持距離和内積的性質可推出，等距線性變換保持向量的範數：$|f(x)| = |x|$。
未必滿射：等距映象不一定是滿射（映上）。若 $f$ 是滿射的等距映象，則稱其為等距同構，此時 $f$ 存在逆映射 $f^{-1}$，且 $f^{-1}$ 也是等距映象。$M$ 和 $N$ 稱為等距同構的度量空間。

三、應用場景等距映象在多個數學分支和實際應用中至關重要：

幾何學：定義剛體運動（平移、旋轉、反射），研究圖形的全等性。
泛函分析：研究賦範線性空間、希爾伯特空間的結構和算子理論。例如，希爾伯特空間上的酉算子（Unitary Operator）是滿射的等距線性算子。
微分幾何：研究黎曼流形間的等距映射，保持黎曼度量（即弧長）不變。
編碼理論：等距編碼用于設計能保持信號或數據距離的傳輸方案。

四、漢英術語對照

等距映象 (Děngjù Yìngxiàng)： Isometric Mapping / Isometry
度量空間 (Dùliàng Kōngjiān)： Metric Space
距離 (Jùlí)： Distance
單射 (Dànshè)： Injective / One-to-one
滿射 (Mǎnshè)： Surjective / Onto
等距同構 (Děngjù Tónggòu)： Isometric Isomorphism
内積 (Nèijī)： Inner Product
範數 (Fànshù)： Norm
線性算子 (Xiànxìng Suànzǐ)： Linear Operator
酉算子 (Yǒu Suànzǐ)： Unitary Operator

參考文獻

Weisstein, Eric W. "Isometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Isometry.html (Accessed July 30, 2025).
Deza, M. M., & Deza, E. (2013). Encyclopedia of Distances (2nd ed.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Chapter 1: General Definitions. DOI: 10.1007/978-3-642-30958-8.
Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer International Publishing. Chapter 7: Operators on Inner Product Spaces. DOI: 10.1007/978-3-319-11080-6.

網絡擴展解釋

等距映象（等距映射）是微分幾何中的一個核心概念，指兩個曲面或空間之間存在一種保持距離不變的映射關系。以下是詳細解釋：

1.數學定義

等距映象要求兩個曲面在參數變換後保持所有曲線弧長不變。具體表現為：若曲面$S$和$S'$之間存在等距映射，則它們的第一基本形式（即曲面的度量性質）必須完全相同。數學上可表示為：
$$ E = E', quad F = F', quad G = G' $$ 其中$E, F, G$和$E', F', G'$分别為兩曲面的第一基本形式系數。

2.直觀理解

等距映象可類比為不拉伸、不壓縮的連續彎曲。例如，将圓柱面沿母線剪開後展開為平面，圓柱面與平面之間的映射即為等距映象。此時，圓柱面上的任意兩點距離在平面上保持不變，但高斯曲率可能不同（平面曲率為0，圓柱面為非零）。

3.應用領域

在機械設計中，等距映象用于曲面展開（如钣金下料）。通過将柱面、錐面等直紋曲面等距映射到平面，可生成精确的展開樣闆，避免材料變形，提高加工質量。

4.與“映象”的關聯

“映象”一般指通過感官形成的形象（如藝術創作中的虛構場景），但在數學術語中，“等距映象”特指嚴格保持幾何結構的映射關系，需結合上下文區分。