代数精度英文解释翻译、代数精度的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 algebraic precision

分词翻译：

代的英语翻译：

era; generation; take the place of
【电】 generation

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

精度的英语翻译：

precision
【计】 precision
【化】 accuracy

专业解析

在数值分析领域，代数精度（Algebraic Precision）是一个核心概念，用于衡量数值积分公式或近似方法的精确程度。其定义如下：

代数精度

指一个数值积分公式（或求积公式）能够精确计算（即无误差地给出积分真值）的最高次数的多项式。如果一个求积公式对任意次数不超过 ( m ) 的多项式都能精确积分，但对某个 ( m+1 ) 次多项式不能精确积分，则该公式的代数精度即为 ( m )。

数学描述

设数值积分公式为： $$ inta^b f(x) , dx approx sum{i=1}^n A_i f(x_i) $$ 其中 ( A_i ) 为权重，( x_i ) 为节点。若该公式对所有次数 ( leq m ) 的多项式 ( p(x) ) 满足： $$ inta^b p(x) , dx = sum{i=1}^n A_i p(x_i) $$ 但对至少一个 ( m+1 ) 次多项式不成立，则其代数精度为 ( m )。

应用意义

误差评估
代数精度越高，公式对光滑函数（如多项式）的积分误差越小。例如，梯形公式（代数精度=1）仅精确计算线性多项式，而辛普森公式（代数精度=3）可精确计算三次多项式。

公式设计依据
高斯求积公式通过优化节点位置和权重，可达到最高代数精度（( 2n-1 ) 次），显著提升计算效率。

权威参考来源

《数值分析》（李庆扬等著）
定义代数精度为求积公式精确成立的多项式最高次数，强调其与误差的关系（第5章数值积分）。

Atkinson, K. E. (2008). An Introduction to Numerical Analysis. Wiley.
明确将 "Degree of Precision" 等同于代数精度，并给出高斯公式的代数精度证明（Section 5.3）。

MathWorld (Wolfram Research)
词条 "Numerical Integration" 解释代数精度是衡量积分公式精确度的指标，链接：

https://mathworld.wolfram.com/NumericalIntegration.html

总结

代数精度是数值积分公式的核心性能指标，直接关联计算效率与误差控制。其严格定义为可精确积分的多项式最高次数，在工程计算（如有限元分析）和算法设计中具有广泛应用。

网络扩展解释

代数精度是数值分析中用于衡量数值积分公式（求积公式）精确程度的重要指标。其核心定义如下：

一个求积公式具有m 次代数精度，当且仅当它能精确计算所有次数不超过 m 次的多项式的积分值，但对至少一个 m+1 次多项式无法精确计算。

关键解释

判断方法
通过验证公式对多项式 $f(x) = 1, x, x, ..., x^k$ 的积分是否精确。若对 $x^m$ 精确但对 $x^{m+1}$ 不精确，则代数精度为 m。
典型例子
- 梯形法则：可精确积分一次多项式（如 $f(x)=x$），代数精度为 1
- 辛普森法则：可精确积分三次多项式（如 $f(x)=x$），代数精度为 3
理论意义
代数精度越高，公式对光滑函数（可用多项式近似）的积分误差越小。高斯积分法通过优化节点位置，使 n 个节点达到 $2n-1$ 次代数精度，是最高效的数值积分方案之一。

应用意义

在工程计算中，选择积分方法时需权衡代数精度与计算成本。例如：

低精度方法（如梯形法）计算量小，适合简单函数
高精度方法（如高斯积分）适合复杂函数，但需要更多计算节点

理解代数精度有助于设计误差可控的数值算法，并为误差分析提供理论依据。

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