单调函数英文解释翻译、单调函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 monotonic function

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

melody; mix; move; suit well; transfer
【计】 debugging mode

function
【计】 F; FUNC; function

单调函数（Monotonic Function）是数学分析中的基础概念，指在定义域内函数值随自变量变化呈现单一递增或递减趋势的函数。根据方向不同可分为单调递增函数和单调递减函数。

单调递增函数：若对定义域内任意两点$x_1 < x_2$，均有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$为单调递增函数。若严格满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称为严格单调递增（Strictly Increasing）。
数学表达式：

$$ forall x_1, x_2 in D, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) leq f(x_2) $$
单调递减函数：若对定义域内任意两点$x_1 < x_2$，均有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$为单调递减函数。严格情况下称为严格单调递减（Strictly Decreasing）。
数学表达式：

$$ forall x_1, x_2 in D, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) geq f(x_2) $$

典型例子：
- 线性函数$f(x) = 2x + 3$是严格单调递增函数；
- 指数函数$f(x) = e^{-x}$是严格单调递减函数（来源：Thomas' Calculus, 14th Edition）。
应用领域：经济学中的效用函数、工程学中的信号处理、概率论中的累积分布函数等均依赖单调性分析（来源：Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis）。

导数判定法：若函数在区间内可导，则：
- $f'(x) geq 0$时，函数单调递增；
- $f'(x) leq 0$时，函数单调递减（来源：Stewart, Calculus: Early Transcendentals）。
复合性质：单调函数与反函数存在一一对应关系，严格单调函数必存在反函数，且反函数保持相同单调性。

单调函数是数学中描述函数在定义域内整体变化趋势的重要概念，具体分为单调递增和单调递减两类：

单调递增
- 非严格单调递增：对任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) leq f(x_2) )。即函数值不减少，允许相邻点相等。
- 严格单调递增：对任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) < f(x_2) )。函数值必须严格增加，如 ( y = 2x + 1 )。
单调递减
- 非严格单调递减：对任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) geq f(x_2) )。如常数函数 ( y = 5 )。
- 严格单调递减：对任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) > f(x_2) )。例如 ( y = -3x + 2 )。

导数关系
- 若函数在区间内可导：
  - 导数 ( f'(x) geq 0 ) → 非严格递增；
  - 导数 ( f'(x) > 0 ) → 严格递增（反之递减同理）。
  - 例外：如 ( f(x) = x ) 在 ( x=0 ) 处导数为零，但整体严格递增。
反函数存在性
- 严格单调函数是单射的，因此存在反函数；非严格单调函数可能因“平台区”导致反函数不唯一或不存在。
图像特征
- 严格递增函数图像向右上方延伸；严格递减函数则向右下方延伸。

经典例子：
- 指数函数 ( y = e^x ) 严格递增；对数函数 ( y = ln x ) 严格递增（定义域内）。
- 一次函数 ( y = kx + b ) 的单调性由斜率 ( k ) 决定（( k > 0 ) 递增，( k < 0 ) 递减）。
应用领域：
- 优化问题中通过单调性寻找极值；
- 经济学中分析需求函数（通常递减）与供给函数（通常递增）。

通过以上分析，可以系统理解单调函数的核心逻辑及其在数学和实际问题中的作用。