單調函數英文解釋翻譯、單調函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 monotonic function

odd; single
【醫】 azygos; mon-; mono-; uni-

melody; mix; move; suit well; transfer
【計】 debugging mode

function
【計】 F; FUNC; function

單調函數（Monotonic Function）是數學分析中的基礎概念，指在定義域内函數值隨自變量變化呈現單一遞增或遞減趨勢的函數。根據方向不同可分為單調遞增函數和單調遞減函數。

單調遞增函數：若對定義域内任意兩點$x_1 < x_2$，均有$f(x_1) leq f(x_2)$，則稱函數$f(x)$為單調遞增函數。若嚴格滿足$f(x_1) < f(x_2)$，則稱為嚴格單調遞增（Strictly Increasing）。
數學表達式：

$$ forall x_1, x_2 in D, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) leq f(x_2) $$
單調遞減函數：若對定義域内任意兩點$x_1 < x_2$，均有$f(x_1) geq f(x_2)$，則稱函數$f(x)$為單調遞減函數。嚴格情況下稱為嚴格單調遞減（Strictly Decreasing）。
數學表達式：

$$ forall x_1, x_2 in D, x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) geq f(x_2) $$

典型例子：
- 線性函數$f(x) = 2x + 3$是嚴格單調遞增函數；
- 指數函數$f(x) = e^{-x}$是嚴格單調遞減函數（來源：Thomas' Calculus, 14th Edition）。
應用領域：經濟學中的效用函數、工程學中的信號處理、概率論中的累積分布函數等均依賴單調性分析（來源：Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis）。

導數判定法：若函數在區間内可導，則：
- $f'(x) geq 0$時，函數單調遞增；
- $f'(x) leq 0$時，函數單調遞減（來源：Stewart, Calculus: Early Transcendentals）。
複合性質：單調函數與反函數存在一一對應關系，嚴格單調函數必存在反函數，且反函數保持相同單調性。

單調函數是數學中描述函數在定義域内整體變化趨勢的重要概念，具體分為單調遞增和單調遞減兩類：

單調遞增
- 非嚴格單調遞增：對任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) leq f(x_2) )。即函數值不減少，允許相鄰點相等。
- 嚴格單調遞增：對任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) < f(x_2) )。函數值必須嚴格增加，如 ( y = 2x + 1 )。
單調遞減
- 非嚴格單調遞減：對任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) geq f(x_2) )。如常數函數 ( y = 5 )。
- 嚴格單調遞減：對任意 ( x_1 < x_2 )，有 ( f(x_1) > f(x_2) )。例如 ( y = -3x + 2 )。

導數關系
- 若函數在區間内可導：
  - 導數 ( f'(x) geq 0 ) → 非嚴格遞增；
  - 導數 ( f'(x) > 0 ) → 嚴格遞增（反之遞減同理）。
  - 例外：如 ( f(x) = x ) 在 ( x=0 ) 處導數為零，但整體嚴格遞增。
反函數存在性
- 嚴格單調函數是單射的，因此存在反函數；非嚴格單調函數可能因“平台區”導緻反函數不唯一或不存在。
圖像特征
- 嚴格遞增函數圖像向右上方延伸；嚴格遞減函數則向右下方延伸。

經典例子：
- 指數函數 ( y = e^x ) 嚴格遞增；對數函數 ( y = ln x ) 嚴格遞增（定義域内）。
- 一次函數 ( y = kx + b ) 的單調性由斜率 ( k ) 決定（( k > 0 ) 遞增，( k < 0 ) 遞減）。
應用領域：
- 優化問題中通過單調性尋找極值；
- 經濟學中分析需求函數（通常遞減）與供給函數（通常遞增）。

通過以上分析，可以系統理解單調函數的核心邏輯及其在數學和實際問題中的作用。