幂函数英文解释翻译、幂函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 power function

function
【计】 F; FUNC; function

幂函数（Power Function）是数学分析中的基础函数类型，其一般形式定义为： $$ y = x^a $$ 其中，自变量( x )为实数，指数( a )为常数（可为整数、分数或无理数）。该函数在中英文语境下均表述为"幂函数/power function"，强调变量与指数的幂次关系。

核心特征与分类

定义域与图像：根据指数( a )的不同，定义域可能为全体实数（如( a )为正整数时）或仅正实数（如( a )为分数或负数时）。典型图像包括抛物线（( a=2 )）、立方曲线（( a=3 )）及双曲线（( a=-1 )）。
奇偶性：当( a )为偶数时函数为偶函数，( a )为奇数时为奇函数。
增长特性：指数( a>0 )时函数随( x )增大而上升，( a<0 )时则下降。

应用领域

幂函数广泛用于自然科学与工程建模，例如：

特殊形式

当( a=e )（自然常数）时，幂函数可转化为指数函数( y=e^x )，两者通过对数与指数运算相互转化。此关系在微分方程与复变函数分析中具有重要价值。

参考来源：高等教育出版社《数学分析（第四版）》、Wolfram MathWorld幂函数条目。

幂函数是数学中的一类基本函数，其一般形式为：

$$ f(x) = x^a $$

其中，( x ) 是自变量，( a ) 是常数（称为幂指数）。以下是关键解析：

定义域：
- 若 ( a ) 为正整数（如 ( a=2 )）：定义域为全体实数 ( mathbb{R} )。
- 若 ( a ) 为负整数（如 ( a=-1 )）：定义域为 ( x eq 0 )。
- 若 ( a ) 为分数（如 ( a=1/2 )）：定义域需满足根号条件，如 ( x geq 0 )（偶次根）或全体实数（奇次根）。
图像规律：
- ( a>0 )：函数在 ( x>0 ) 时递增，如 ( y=x ) 是开口向上的抛物线。
- ( a<0 )：函数在 ( x>0 ) 时递减，如 ( y=x^{-1} ) 是双曲线。
- 奇偶性：若 ( a ) 为偶数，图像关于 ( y )-轴对称；若为奇数，关于原点对称。

通过具体例子（如 ( y=x^{-2} )、( y=x^{0.5} )）可更直观理解不同幂指数的特性。若需进一步探讨特定场景，可提供具体参数或应用领域。