列向量英文解释翻译、列向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 column vector
【化】 column vector

分词翻译：

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

列向量（column vector）是线性代数中的基础概念，指由$n$个元素按垂直方向排列构成的矩阵形式，其维度为$n times 1$。在英文中称为"column vector"，发音为[ˈkɒləm ˈvɛktə]。以下是其核心要点：

结构特性
列向量以单列形式组织数据，数学表示为： $$ mathbf{v} = begin{bmatrix} v_1v_2vdotsv_n end{bmatrix} $$ 其中每个元素$v_i$可以是实数或复数，这种结构便于表示空间坐标、方程组变量等。
汉英术语对照
- 中文：列向量（liè xiàng liàng）
- 英文：Column Vector
  两者均强调“垂直排列”特性，与行向量（row vector）形成维度互补。
运算规则
列向量参与矩阵乘法时需满足维度匹配，例如$n times 1$列向量与$1 times m$行向量相乘，可生成$n times m$矩阵。内积运算则需转置为行向量后再相乘。
应用场景
在机器学习中，列向量常用于表示数据特征（如剑桥大学出版社《深度学习》）；量子力学中则用于描述量子态（如《量子计算与量子信息》教材）。物理学中的力、速度等矢量也多用列向量表达。
权威定义参考
美国数学学会（AMS）将其定义为“单列矩阵”，国际标准化组织ISO 80000-2标准中规定了向量的矩阵表示法。相关数学符号规范可参考Springer出版的《线性代数及其应用》。

网络扩展解释

列向量是线性代数中的基本概念，指由$m$个元素按垂直方向排列形成的矩阵，其维度为$m times 1$。例如，三维列向量可表示为： $$ mathbf{v} = begin{bmatrix} v_1v_2v_3 end{bmatrix} $$

核心要点：

结构特性
列向量是单列的矩阵，元素纵向排列。与之对应的行向量是单行的矩阵（维度为$1 times n$），两者通过转置（符号为$^top$）相互转换。例如： $$ mathbf{v} = begin{bmatrix} 25-1 end{bmatrix} quad Rightarrow quad mathbf{v}^top = begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 end{bmatrix} $$
数学表示与运算
- 符号：通常用粗体小写字母（如$mathbf{v}$）或带箭头符号（如$vec{v}$）表示。
- 运算规则：列向量参与矩阵乘法时需满足维度匹配。例如，矩阵$A{n times m}$与列向量$mathbf{v}{m times 1}$相乘，结果为$n times 1$的列向量。
应用场景
- 几何变换：用于表示空间中的点或方向，通过矩阵乘法实现平移、旋转等操作。
- 线性方程组：方程组$Amathbf{x} = mathbf{b}$中，$mathbf{x}$为未知数列向量，$mathbf{b}$为常数项列向量。
- 机器学习：特征向量常以列向量形式组织，数据集可表示为多个列向量组成的矩阵。

与行向量的区别

列向量强调纵向存储，而行向量（如$mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]$）为横向排列。两者在计算内积时需转置其中一个，例如： $$ mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{u}^top mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $$

列向量是线性代数中表示数据、空间向量及参与矩阵运算的基础形式，其纵向结构在矩阵乘法、方程求解等场景中具有天然维度适配性。