简单曲面英文解释翻译、简单曲面的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 ****** surface

分词翻译：

简单的英语翻译：

briefness

曲的英语翻译：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【医】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

面的英语翻译：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【医】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

专业解析

在汉英词典及微分几何领域，“简单曲面”（simple surface）指一种特定类型的参数化曲面，具有光滑性、正则性及无自交特性。其核心定义与属性如下：

定义

设 (mathbf{r}: D to mathbb{R}) 是从平面区域 (D subset mathbb{R}) 到三维空间的映射。若满足以下条件，则称 (mathbf{r}) 定义的曲面为简单曲面：

光滑性：(mathbf{r}(u,v)) 是 (C) 类函数（一阶偏导数连续）。
正则性：处处满足 (mathbf{r}_u times mathbf{r}_v eq mathbf{0})（法向量非零，切平面唯一定义）。
单射性：(mathbf{r}) 是单射（无自交，即不同参数点映射到不同空间点）。

关键属性

局部微分同胚
简单曲面在每一点邻域内与平面区域微分同胚，是研究曲面局部几何（如曲率、度量）的理想模型。
参数化唯一性
定义域 (D) 通常为单连通区域（如圆盘、矩形），确保参数化无重叠或边界矛盾。
与“曲面片”的关联
简单曲面是“曲面片”（surface patch）的同义表述，强调其作为更大曲面的局部坐标卡（coordinate chart）的作用。

汉英术语对照

中文	英文	数学表述
简单曲面	Simple Surface	(mathbf{r}: D to mathbb{R})
参数化	Parametrization	((u,v) mapsto mathbf{r}(u,v))
正则点	Regular Point	(
无自交	Self-intersection Free	(mathbf{r}(p_1)

eq mathbf{r}(p_2)forall p_1 eq p_2) |

应用场景

几何建模：CAD 软件中常用简单曲面构建复杂曲面基元（如 NURBS 曲面片）。
流形理论：作为微分流形的局部坐标系，支撑全局曲面的拼接。
物理建模：描述连续介质表面应力分布的理想数学框架。

权威参考来源

《微分几何讲义》（陈省身）：定义参数化曲面的正则条件与局部性质（链接）
Wolfram MathWorld - "Surface"：解析简单曲面的拓扑约束（链接）
MIT OpenCourseWare - 微分几何课程笔记：无自交参数化的应用实例（链接）

注：以上链接均经有效性核验（截至 2025 年），若未来失效建议通过关键词在对应机构官网检索更新资源。

网络扩展解释

根据数学定义，简单曲面需要满足以下条件：

初等区域映射
以平面上不自交的若尔当曲线围成的初等区域为基底，通过连续且一一对应的映射，将该区域变换到三维空间中，形成的曲面不自交且具有光滑性。例如，球面、圆柱面等均属于简单曲面。
参数方程表示
若初等区域内的点坐标为$(u,v)$，则参数方程可写为： $$ begin{cases} x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) end{cases} $$ 例如球面的参数方程可表示为： $$ x = Rcosthetacosphi, quad y = Rcosthetasinphi, quad z = Rsintheta $$ 其中$theta$为纬度，$phi$为经度。
生成方式
简单曲面也可理解为母线（直线或曲线）在特定约束下的运动轨迹。例如，圆柱面由直线沿圆导线移动形成，而圆锥面由直线绕固定轴旋转形成。

与复杂曲面的区别
简单曲面要求映射为一一对应且连续，避免自交或断裂；而复杂曲面可能存在多个重叠层或非连续区域，如莫比乌斯环等。