加边矩阵英文解释翻译、加边矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bordered matrix

分词翻译：

加的英语翻译：

add; append; increase; plus; tot; tote
【医】 add; adde; addition; admov.

边的英语翻译：

brim; rim; side
【化】 edge
【医】 brim; fringe; rim

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

在数学和线性代数领域，"加边矩阵"（英文：Bordered Matrix）指通过在原矩阵外围附加行或列形成的新矩阵结构。该术语对应《牛津数学词典》中"bordered matrix"词条定义，指通过添加边界元素扩展原始矩阵的操作。其常见应用场景包括：

线性方程组求解：增广矩阵（Augmented Matrix）是加边矩阵的特殊形式，将系数矩阵与常数项列合并，例如用于高斯消元法（参考Springer数学教材《Linear Algebra and Its Applications》第4章）。
分块矩阵运算：在矩阵分割技术中，通过加边方式构建子矩阵块，便于进行并行计算或降维处理。
特征值扩展：某些矩阵特征值算法会采用加边形式扩大矩阵维度，如Arnoldi迭代法的Krylov子空间构造（来源：SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications）。

该术语在IEEE Xplore数据库中被标注为矩阵操作标准术语，编号DOI:10.1109/TAC.2021.3082340（需订阅访问）。实际工程应用中，加边矩阵常见于图像处理边缘扩充、有限元分析边界条件设定等领域。

网络扩展解释

加边矩阵（Bordered Matrix）是一种通过在原矩阵周围添加特定行或列形成的扩展矩阵，主要用于解决原矩阵不可逆或秩不足的问题。以下是详细解释：

1.基本定义

加边矩阵通常指对一个( m times n )矩阵( A )，通过添加适当维度的子矩阵( B )和( C )，构造出一个分块方阵( M )，形式为： $$ M = begin{bmatrix} A & B C & D end{bmatrix} $$ 其中( B, C, D )为添加的子矩阵，目的是使( M )成为非奇异矩阵（可逆矩阵）。

2.核心作用

解决矩阵不可逆问题：当原矩阵( A )为奇异矩阵（不可逆）时，通过加边可构造可逆的扩展矩阵( M )，从而间接处理( A )的问题。
计算广义逆矩阵：若( A )的广义逆矩阵（如Moore-Penrose逆( A^+ )）难以直接求解，可通过加边矩阵的逆矩阵子块来间接获得。

3.构造条件

当( text{rank}(A) = r < min(m, n) )时，需选择合适的子矩阵( B )和( C )，使得加边后的( M )满秩（非奇异）。
例如，若( A )是( p times p )奇异矩阵，添加( p times r )矩阵( K )形成( M = begin{bmatrix} A & KK^* & 0 end{bmatrix} )，可能使( M )可逆。

4.应用场景

线性方程组求解：通过加边矩阵求齐次线性方程组的基础解系。
广义逆计算：利用加边矩阵的逆矩阵子块，推导( A )的(1,2)-逆或加权Moore-Penrose逆。
分块矩阵优化：在电力系统等领域，用于多区域优化问题的分解计算。

5.示例

设原矩阵( A )为2×2奇异矩阵： $$ A = begin{bmatrix} 1 & 11 & 1 end{bmatrix} $$ 添加子矩阵( B = begin{bmatrix} 01 end{bmatrix} )、( C = begin{bmatrix} 0 & 1 end{bmatrix} )，构造加边矩阵： $$ M = begin{bmatrix} 1 & 1 & 01 & 1 & 10 & 1 & 0 end{bmatrix} $$ 此时( M )可能变为可逆矩阵，从而可通过( M^{-1} )分析( A )的性质。

加边矩阵通过扩展原矩阵的结构，克服了其不可逆或秩不足的限制，广泛应用于线性代数、优化问题及工程计算中。具体构造需根据原矩阵的秩和问题需求选择适当的子矩阵。