互反公式英文解释翻译、互反公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 reciprocity formula

分词翻译：

互的英语翻译：

each other; mutual

反的英语翻译：

in reverse; on the contrary; turn over
【医】 contra-; re-; trans-

公式的英语翻译：

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

专业解析

互反公式（reciprocity formula）是数学领域中描述两个对象间对称性关系的核心概念，其本质特征表现为两种不同数学表达式或变换间的双向可逆关系。该术语在中英学术文献中均具有广泛适用性，以下从三个维度进行专业阐释：

1. 定义特征互反公式建立于对称原理之上，要求满足$A(x,y) = B(y,x)$形式的对等关系，其中A与B代表相关联的数学实体。这种对称性在二次剩余理论中体现得尤为典型，如高斯二次互反律$left(frac{p}{q}right)left(frac{q}{p}right) = (-1)^{frac{(p-1)(q-1)}{4}}$，完美展现素数p与q间的互反特性。

2. 跨学科应用 • 数论领域：Legendre符号的互反律构成现代密码学的基础理论 • 调和分析：傅里叶变换与其逆变换构成$mathcal{F}{f(x)} = F(xi) Leftrightarrow mathcal{F}^{-1}{F(xi)} = f(x)$的典范互反体系 • 表示理论：Frobenius互反定理揭示群表示与子群表示的内在关联

3. 权威文献参考该概念的严谨定义可追溯至Springer出版的《数学百科全书》（Encyclopedia of Mathematics），其词条"Reciprocity law"系统梳理了从高斯原始证明到现代代数几何的发展脉络。美国数学会（AMS）的《数学评论》（Mathematical Reviews）数据库收录超过2,300篇相关研究论文，印证其学术重要性。

需要特别说明，互反公式的具体表现形式随学科语境变化，但其核心始终保持着对称性与可逆性的双重特质。这种数学工具在椭圆曲线加密算法、量子力学对偶性原理等现代科技中具有关键应用价值。

网络扩展解释

互反公式（Reciprocity Formula）在不同数学分支中有不同表现形式，但最经典且著名的当属数论中的二次互反律。以下从核心定义、公式表达及应用意义等方面详细解释：

一、二次互反律的定义

二次互反律是判断两个不同奇素数是否互为二次剩余的核心定理。具体来说：

二次剩余：若存在整数 (x) 使得 (x equiv a pmod{p}) 有解，则称 (a) 是模 (p) 的二次剩余。
Legendre符号：记作 (left(frac{a}{p}right))，其值为：
- (1)（若 (a) 是模 (p) 的二次剩余且 (p mid a)），
- (-1)（若 (a) 是模 (p) 的非二次剩余），
- (0)（若 (p mid a)）。

二、互反公式的数学表达

对于两个不同的奇素数 (p) 和 (q)，二次互反律的公式为： $$ left(frac{p}{q}right) left(frac{q}{p}right) = (-1)^{frac{(p-1)(q-1)}{4}}. $$ 等价形式： $$ left(frac{p}{q}right) = (-1)^{frac{(p-1)(q-1)}{4}} left(frac{q}{p}right). $$ 这表明两者的Legendre符号关系由指数项的奇偶性决定。

三、应用举例

问题：判断 (left(frac{5}{7}right)) 的值。

直接应用互反律： $$ left(frac{5}{7}right) = (-1)^{frac{(5-1)(7-1)}{4}} left(frac{7}{5}right) = (-1) left(frac{2}{5}right). $$
简化得：
- ( (-1) = 1 ),
- (left(frac{2}{5}right) = (-1)^{frac{5-1}{8}} = -1)（因 (5 equiv 5 pmod{8})）。
最终结果：(left(frac{5}{7}right) = -1)，即5是模7的非二次剩余。

四、意义与扩展

历史地位：高斯称其为“数论之母”，并给出了8种不同证明。
推广：后续发展为三次、四次互反律，以及更广泛的类域论中的互反律。
其他领域：
- 物理学：如电磁学中的互易定理（描述场源与响应交换后的关系）；
- 组合数学：生成函数的互反关系（如欧拉生成函数与分拆函数的联系）。

若需深入其他领域的互反公式或具体证明细节，可进一步说明方向。