英语翻译：

【计】 well-order; well-ordering

相关词条：

1.wellordering  2.normalorder  3.wellorder  

分词翻译：

良的英语翻译：

fine; good; good people; very

序的英语翻译：

foreword; initial; order; preface; prolegomenon; sequence

专业解析

在汉英词典中，“良序”是一个具有特定数学和逻辑学含义的术语，其核心释义及对应英文如下：

1. 中文释义与英文对应词

“良序”指一种特殊的次序关系，其中每个非空子集都包含一个最小元素。其标准英文对应词为“well-ordered”。这一译法被权威词典如《牛津英汉汉英词典》和《朗文当代高级英语辞典》所采用，强调集合元素在特定顺序下无“无限下降链”的特性 。

2. 数学定义与性质

在数学语境中，“良序”描述的是满足以下条件的偏序集 ((S, leq))：

• 自反性、反对称性与传递性（偏序公理）；
• 良序原理：对任意非空子集 (T subseteq S)，存在最小元素 (m in T) 使得 (forall t in T, m leq t)。

  该定义源于集合论基础，常见于讨论选择公理（Axiom of Choice）的等价形式时引用 。

3. 应用场景扩展

“良序”概念延伸至计算机科学（如算法终止性证明）和哲学（逻辑推理的严格性）。例如，良序归纳法（Well-Ordering Principle）是数学归纳法在任意良序集上的推广，用于证明整数性质或递归程序正确性 。

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权威参考来源

1. 《牛津英汉汉英词典》（Oxford Chinese Dictionary）
2. 《数学辞海》（Encyclopedia of Mathematics），高等教育出版社
3. 《计算机科学中的数学基础》（Foundations of Mathematics for Computer Science），Springer 出版

网络扩展解释

良序是数学中描述集合排序性质的重要概念，其核心在于“每个非空子集都有最小元素”的严格结构。以下是详细解释：

1. 定义

良序（Well-ordering）是一种特殊的全序关系，需满足两个条件：

• 全序性：集合中任意两个元素均可比较（即满足自反、反对称、传递性，且具备“三歧性”）。
• 最小元素存在性：该集合的每个非空子集在序关系下都存在最小元素。

2. 例子

• 自然数集 $mathbb{N}$：在标准“$leq$”关系下是良序的，因为任何非空自然数子集都有最小元（例如 ${3,5,8}$ 的最小元是 3）。
• 特定排序的整数集：若将整数按绝对值从小到大排列（例如 $0, -1, 1, -2, 2, ldots$），则构成良序。
• 有限全序集：所有有限全序集均为良序（例如 ${1, 2, 3}$）。

3. 非良序的对比

• 正实数集 $(0, +infty)$：在标准“$leq$”下不是良序，因为开区间 $(0,1)$ 没有最小元素。
• 普通整数集 $mathbb{Z}$：在通常的“$leq$”下也非良序，因为负整数子集没有最小元。

4. 哈斯图的直观理解

良序在哈斯图中表现为一条竖直的链，所有元素排列成单一线形结构，无分支或分叉。例如，集合 ${1,2,3}$ 的哈斯图是一条链，而若关系改为 ${<1,2>, <2,3>, <2,4>}$，则存在分支，此时虽为偏序但非良序。

5. 重要性质

• 唯一后继元：除最大元素（若存在）外，每个元素都有唯一的后继元（即比它大的最小元素）。
• 归纳法基础：良序性是数学归纳法的理论基础，自然数的良序性保证了归纳法的有效性。

良序通过“全序+最小元存在性”的严格条件，构建了一种无分支的链式结构，是离散数学和集合论中分析有序性的重要工具。如需进一步了解具体证明或应用场景，可参考来源中的博客和教材。

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