微積分英文解釋翻譯、微積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 infinitesimal calculus

分詞翻譯：

微的英語翻譯：

decline; profound; tiny
【計】 mic-; micro-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; mu

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

微積分（Calculus）是數學的核心分支，主要研究函數的變化率（微分）與累積量（積分）及其相互關系。以下是其詳細解釋：

一、漢語釋義與構成

微：指“無限細分”，對應微分學（Differential Calculus），通過極限思想研究函數瞬時變化率（如速度、斜率）。
積：指“無限求和”，對應積分學（Integral Calculus），通過求和過程計算面積、體積等累積量。
核心關系：微分與積分互為逆運算（微積分基本定理），構成統一理論體系。

二、核心概念與公式

微分（Derivative）
函數 ( f(x) ) 的導數定義為：

$$ f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{f(x + Delta x) - f(x)}{Delta x} $$

表示函數在某點的瞬時變化率，如速度是位移的導數。
積分（Integral）
函數 ( f(x) ) 在區間 ([a, b]) 的定積分：

$$ inta^b f(x) , dx = lim{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i) Delta x $$

表示曲線下的面積或總量累積，如位移是速度的積分。
微積分基本定理
$$ frac{d}{dx} int_a^x f(t) , dt = f(x) $$

揭示了微分與積分的互逆關系，奠定理論基石。

三、應用領域

物理學：牛頓力學中的運動方程（如 ( F = ma ) 需微分求解）。
工程學：優化設計、控制系統的動态建模。
經濟學：邊際成本（微分）與總收益（積分）分析。
生物學：種群增長率模型（微分方程）。

四、曆史背景

由牛頓（Isaac Newton）與萊布尼茨（Gottfried Leibniz）于17世紀獨立創立，引發科學革命。牛頓側重物理應用，萊布尼茨發展符號系統（如 ( int, dx )）。

權威參考資料

《微積分》高等教育出版社（中國教育部直屬出版）
美國數學學會（AMS）術語定義
牛頓《自然哲學的數學原理》（斯坦福哲學百科）
萊布尼茨手稿研究（斯坦福大學檔案館）
微積分在工程中的應用（美國國家科學基金會案例庫）

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網絡擴展解釋

微積分是數學的核心分支，主要研究變化率與累積量，包含微分學和積分學兩部分，廣泛應用于自然科學、工程、經濟學等領域。以下是詳細解釋：

一、微分學：研究“瞬時變化”

核心概念：導數
導數表示函數在某一點的瞬時變化率，例如物體運動的瞬時速度。數學上定義為： $$ f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
幾何意義：導數是函數圖像在該點的切線斜率。
應用：優化問題（如最大利潤）、預測趨勢（如人口增長模型）等。

二、積分學：研究“累積效應”

核心概念：定積分
定積分計算函數在區間内的累積總量，例如曲線下的面積。數學表達式為： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$
幾何意義：積分可理解為無限多個微小矩形面積之和。
應用：計算物體總位移、概率分布、資源總量等。

三、微分與積分的關系：微積分基本定理

核心定理：微分和積分是逆運算。若已知函數的導數為 ( f(x) )，則其原函數 ( F(x) ) 的定積分可表示為： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$
意義：該定理統一了微分與積分，成為解決實際問題的關鍵工具。

四、實際應用領域

物理學：牛頓力學中通過導數描述速度、加速度，積分計算功和能量。
工程學：電路分析、結構應力建模。
經濟學：邊際成本與收益分析（微分）、消費者剩餘計算（積分）。
人工智能：梯度下降算法（微分）優化神經網絡參數。

五、學習微積分的意義

微積分不僅是現代科學的語言，更提供了一種分析動态系統的思維方式。從行星軌道計算到疫情傳播預測，其方法論深刻影響着人類對自然和社會現象的理解。