群矩阵英文解释翻译、群矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 mass matrix

分词翻译：

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

在数学领域，"群矩阵"（Group Matrix）指代群表示理论中的核心概念，具体指一个将抽象群元素映射为具体可操作矩阵的同态映射。其核心定义与性质如下：

一、核心定义

设 ( G ) 为群，( V ) 是域 ( mathbb{F} ) 上的向量空间。一个群矩阵表示（Group Matrix Representation）是同态映射：

$$ rho: G to text{GL}(V) $$

其中 ( text{GL}(V) ) 表示 ( V ) 上的一般线性群（所有可逆线性变换构成的群）。对每个群元素 ( g in G )，( rho(g) ) 是一个可逆矩阵，且满足：

$$ rho(g_1 g_2) = rho(g_1) rho(g_2), quad forall g_1, g_2 in G. $$

该矩阵集 ( {rho(g) mid g in G} ) 称为群 ( G ) 的矩阵群，其乘法表与 ( G ) 的群运算完全一致。

二、关键性质

1. 同态保持结构

   群矩阵严格保持原群的代数结构，即群乘法对应矩阵乘法，单位元对应单位矩阵，逆元对应逆矩阵。

2. 表示维度

   矩阵的阶（即向量空间 ( V ) 的维数）称为表示的度数（degree）。例如，3维空间中的旋转群表示对应 ( 3 times 3 ) 矩阵。

3. 不可约性

   若表示空间 ( V ) 不存在非平凡不变子空间，则称该群矩阵为不可约表示，此为群表示分类的核心依据。

三、应用场景

• 量子力学：描述粒子对称性（如李群 ( SU(2) ) 的自旋表示）。
• 晶体学：空间群表示分析晶体结构的对称操作。
• 密码学：群作用在密码协议中建模非线性变换。

权威参考文献

1. Curtis, C.W., & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Wiley.
2. Serre, J.P. (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer.
3. Fulton, W., & Harris, J. (1991). Representation Theory: A First Course. Springer.

网络扩展解释

“群矩阵”这一表述在不同领域有不同含义，需结合数学理论背景具体分析：

一、群的矩阵表示（群的线性表示）

这是群论与线性代数结合的经典理论，指将群元素映射为可逆矩阵，使群运算转化为矩阵乘法。其核心特点包括：

1. 同态映射：存在群$G$到矩阵群$GL(n,mathbb{C})$的同态映射，即对任意$A,B in G$，对应的矩阵满足$D(A)D(B)=D(AB)$。
2. 矩阵性质：
   • 必须为方阵（保证运算封闭性）
   • 矩阵需非奇异（存在逆元，对应群的逆元存在性）
3. 应用价值：通过矩阵研究群的结构，例如对称性分析、量子力学中的群作用表达等。

二、矩阵群（李群的一种）

指由矩阵构成的特殊群结构，同时具备微分流形特性，属于李群范畴：

1. 构成条件：
   • 是$GL(n,mathbb{R})$（n阶实可逆矩阵群）的子群
   • 具有光滑流形结构（可进行微分运算）
2. 典型例子：
   • 正交群$O(n)$：满足$A^TA=I$的实矩阵
   • 特殊线性群$SL(n)$：行列式为1的矩阵
3. 几何意义：这类群常用于描述连续对称性，如三维旋转群$SO(3)$对应刚体旋转。

附：基础概念

矩阵本身是数域上的矩形阵列，由方程组系数发展而来，可视为线性变换的具体实现。例如，$n times n$实矩阵集合在加法下构成群，但非可逆矩阵不满足群条件。

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