群矩陣英文解釋翻譯、群矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 mass matrix

分詞翻譯：

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

在數學領域，"群矩陣"（Group Matrix）指代群表示理論中的核心概念，具體指一個将抽象群元素映射為具體可操作矩陣的同态映射。其核心定義與性質如下：

一、核心定義

設 ( G ) 為群，( V ) 是域 ( mathbb{F} ) 上的向量空間。一個群矩陣表示（Group Matrix Representation）是同态映射：

$$ rho: G to text{GL}(V) $$

其中 ( text{GL}(V) ) 表示 ( V ) 上的一般線性群（所有可逆線性變換構成的群）。對每個群元素 ( g in G )，( rho(g) ) 是一個可逆矩陣，且滿足：

$$ rho(g_1 g_2) = rho(g_1) rho(g_2), quad forall g_1, g_2 in G. $$

該矩陣集 ( {rho(g) mid g in G} ) 稱為群 ( G ) 的矩陣群，其乘法表與 ( G ) 的群運算完全一緻。

二、關鍵性質

1. 同态保持結構

   群矩陣嚴格保持原群的代數結構，即群乘法對應矩陣乘法，單位元對應單位矩陣，逆元對應逆矩陣。

2. 表示維度

   矩陣的階（即向量空間 ( V ) 的維數）稱為表示的度數（degree）。例如，3維空間中的旋轉群表示對應 ( 3 times 3 ) 矩陣。

3. 不可約性

   若表示空間 ( V ) 不存在非平凡不變子空間，則稱該群矩陣為不可約表示，此為群表示分類的核心依據。

三、應用場景

• 量子力學：描述粒子對稱性（如李群 ( SU(2) ) 的自旋表示）。
• 晶體學：空間群表示分析晶體結構的對稱操作。
• 密碼學：群作用在密碼協議中建模非線性變換。

權威參考文獻

1. Curtis, C.W., & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Wiley.
2. Serre, J.P. (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer.
3. Fulton, W., & Harris, J. (1991). Representation Theory: A First Course. Springer.

網絡擴展解釋

“群矩陣”這一表述在不同領域有不同含義，需結合數學理論背景具體分析：

一、群的矩陣表示（群的線性表示）

這是群論與線性代數結合的經典理論，指将群元素映射為可逆矩陣，使群運算轉化為矩陣乘法。其核心特點包括：

1. 同态映射：存在群$G$到矩陣群$GL(n,mathbb{C})$的同态映射，即對任意$A,B in G$，對應的矩陣滿足$D(A)D(B)=D(AB)$。
2. 矩陣性質：
   • 必須為方陣（保證運算封閉性）
   • 矩陣需非奇異（存在逆元，對應群的逆元存在性）
3. 應用價值：通過矩陣研究群的結構，例如對稱性分析、量子力學中的群作用表達等。

二、矩陣群（李群的一種）

指由矩陣構成的特殊群結構，同時具備微分流形特性，屬于李群範疇：

1. 構成條件：
   • 是$GL(n,mathbb{R})$（n階實可逆矩陣群）的子群
   • 具有光滑流形結構（可進行微分運算）
2. 典型例子：
   • 正交群$O(n)$：滿足$A^TA=I$的實矩陣
   • 特殊線性群$SL(n)$：行列式為1的矩陣
3. 幾何意義：這類群常用于描述連續對稱性，如三維旋轉群$SO(3)$對應剛體旋轉。

附：基礎概念

矩陣本身是數域上的矩形陣列，由方程組系數發展而來，可視為線性變換的具體實現。例如，$n times n$實矩陣集合在加法下構成群，但非可逆矩陣不滿足群條件。

分類

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