条件数学期望英文解释翻译、条件数学期望的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 conditional mathematical expectation

分词翻译：

条件的英语翻译：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【计】 condition; criteria
【医】 condition
【经】 condition; proviso; terms

数学期望的英语翻译：

【计】 mathematical expectation

专业解析

条件数学期望是概率论与数理统计中的核心概念，指在给定特定信息集或条件下，随机变量的期望值。其严格定义为：设$X$和$Y$为定义在概率空间$(Omega,mathcal{F},P)$上的随机变量，当给定$Y=y$时，$X$的条件期望$E[X|Y=y]$可表示为 $$ E[X|Y=y] = int{-infty}^{infty} x f{X|Y}(x|y) dx $$ 其中$f_{X|Y}(x|y)$为条件概率密度函数。

从测度论角度，条件期望$E[X|mathcal{G}]$是$mathcal{G}$可测且满足对任意$A in mathcal{G}$有$int_A X dP = int_A E[X|mathcal{G}] dP$的随机变量。这一性质在金融衍生品定价与信号处理领域有重要应用，例如Black-Scholes模型中的风险中性定价即建立在此理论基础之上。

参考文献：

峁诗松《概率论与数理统计教程》（高等教育出版社，2023版）
David Williams《Probability with Martingales》（Cambridge University Press）
MIT开放式课程《概率系统分析与应用》

网络扩展解释

条件数学期望是概率论与统计学中的核心概念，指在给定某些已知信息（条件）下，随机变量的期望值。以下是详细解释：

1. 基本定义

数学形式：对于随机变量(Y)和另一个随机变量(X)，条件数学期望(E[Y mid X])是一个新的随机变量，表示在已知(X)取值时，(Y)的期望值。
离散情况：若(X)为离散型，则： $$ E[Y mid X = x] = sum_{y} y cdot P(Y=y mid X=x) $$
连续情况：若(X)为连续型，则： $$ E[Y mid X = x] = int{-infty}^{infty} y cdot f{Y mid X}(y mid x) , dy $$ 其中(f_{Y mid X}(y mid x))是条件概率密度函数。

2. 核心性质

线性性：(E[aY + bZ mid X] = aE[Y mid X] + bE[Z mid X])（(a, b)为常数）。
塔法则（迭代期望）：(E[E[Y mid X]] = E[Y])。这一性质表明，对条件期望再求期望可还原为原始期望。
独立性：若(Y)与(X)独立，则(E[Y mid X] = E[Y])。
可测性：(E[Y mid X])是(X)的函数，仅依赖已知的(X)信息。

3. 几何解释

条件数学期望可视为在给定(X)的信息下，(Y)在(L)空间中的正交投影。这种投影是“最优预测”，即最小化均方误差： $$ Eleft[ (Y - E[Y mid X]) right] leq Eleft[ (Y - g(X)) right] $$ 其中(g(X))为任意关于(X)的函数。

4. 应用场景

回归分析：线性回归模型中的预测值本质上是条件期望（如(E[Y mid X] = beta_0 + beta_1 X)）。
金融定价：期权定价中，风险中性测度下的条件期望用于计算衍生品价格。
信号处理：在已知部分观测信号时，估计未知信号的期望值。

5. 直观理解

条件数学期望通过“过滤”已知信息（(X)的取值），将不确定性限制在剩余未知部分，从而提供更精确的预测。例如：

若(X)表示温度，(Y)表示冰淇淋销量，则(E[Y mid X=30℃])代表在30℃时的平均销量预测。

总结来说，条件数学期望是处理部分信息下随机现象的核心工具，兼具理论严谨性和广泛实用性。