條件數學期望英文解釋翻譯、條件數學期望的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 conditional mathematical expectation

分詞翻譯：

條件的英語翻譯：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【計】 condition; criteria
【醫】 condition
【經】 condition; proviso; terms

數學期望的英語翻譯：

【計】 mathematical expectation

專業解析

條件數學期望是概率論與數理統計中的核心概念，指在給定特定信息集或條件下，隨機變量的期望值。其嚴格定義為：設$X$和$Y$為定義在概率空間$(Omega,mathcal{F},P)$上的隨機變量，當給定$Y=y$時，$X$的條件期望$E[X|Y=y]$可表示為 $$ E[X|Y=y] = int{-infty}^{infty} x f{X|Y}(x|y) dx $$ 其中$f_{X|Y}(x|y)$為條件概率密度函數。

從測度論角度，條件期望$E[X|mathcal{G}]$是$mathcal{G}$可測且滿足對任意$A in mathcal{G}$有$int_A X dP = int_A E[X|mathcal{G}] dP$的隨機變量。這一性質在金融衍生品定價與信號處理領域有重要應用，例如Black-Scholes模型中的風險中性定價即建立在此理論基礎之上。

參考文獻：

峁詩松《概率論與數理統計教程》（高等教育出版社，2023版）
David Williams《Probability with Martingales》（Cambridge University Press）
MIT開放式課程《概率系統分析與應用》

網絡擴展解釋

條件數學期望是概率論與統計學中的核心概念，指在給定某些已知信息（條件）下，隨機變量的期望值。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

數學形式：對于隨機變量(Y)和另一個隨機變量(X)，條件數學期望(E[Y mid X])是一個新的隨機變量，表示在已知(X)取值時，(Y)的期望值。
離散情況：若(X)為離散型，則： $$ E[Y mid X = x] = sum_{y} y cdot P(Y=y mid X=x) $$
連續情況：若(X)為連續型，則： $$ E[Y mid X = x] = int{-infty}^{infty} y cdot f{Y mid X}(y mid x) , dy $$ 其中(f_{Y mid X}(y mid x))是條件概率密度函數。

2. 核心性質

線性性：(E[aY + bZ mid X] = aE[Y mid X] + bE[Z mid X])（(a, b)為常數）。
塔法則（疊代期望）：(E[E[Y mid X]] = E[Y])。這一性質表明，對條件期望再求期望可還原為原始期望。
獨立性：若(Y)與(X)獨立，則(E[Y mid X] = E[Y])。
可測性：(E[Y mid X])是(X)的函數，僅依賴已知的(X)信息。

3. 幾何解釋

條件數學期望可視為在給定(X)的信息下，(Y)在(L)空間中的正交投影。這種投影是“最優預測”，即最小化均方誤差： $$ Eleft[ (Y - E[Y mid X]) right] leq Eleft[ (Y - g(X)) right] $$ 其中(g(X))為任意關于(X)的函數。

4. 應用場景

回歸分析：線性回歸模型中的預測值本質上是條件期望（如(E[Y mid X] = beta_0 + beta_1 X)）。
金融定價：期權定價中，風險中性測度下的條件期望用于計算衍生品價格。
信號處理：在已知部分觀測信號時，估計未知信號的期望值。

5. 直觀理解

條件數學期望通過“過濾”已知信息（(X)的取值），将不确定性限制在剩餘未知部分，從而提供更精确的預測。例如：

若(X)表示溫度，(Y)表示冰淇淋銷量，則(E[Y mid X=30℃])代表在30℃時的平均銷量預測。

總結來說，條件數學期望是處理部分信息下隨機現象的核心工具，兼具理論嚴謹性和廣泛實用性。