單群英文解釋翻譯、單群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 ****** group

分詞翻譯：

單的英語翻譯：

odd; single
【醫】 azygos; mon-; mono-; uni-

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

單群（Simple Group）是抽象代數中群論研究的核心概念，指一種不可分解的非平凡群，其僅有的正規子群為平凡群（僅含單位元的群）和其本身。這一數學結構在對稱性分析和現代物理等領域具有基礎性地位。

數學定義與特征

根據群論公理體系，單群需滿足： $$ N trianglelefteq G implies N = {e} text{ 或 } N = G $$ 其中$G$為群，$N$為其正規子群，$e$為單位元。該定義排除了存在非平凡正規子群的可能性，确保群結構的不可約性。

分類體系

有限單群分類定理（Classification Theorem）曆時數十年完成，包含18個無限族和26個散在單群。其中：

循環群：素數階循環群（如$mathbb{Z}_5$）
交錯群：$A_n$（$n geq 5$）
李型群：包括PSL、PSU等系列
散在群：如魔群（Monster Group）含約$8times10^{53}$個元素

實際應用價值

晶體學：230種空間群均由單群組合構建
密碼學：基于單群構造的非交換密碼系統增強抗量子攻擊能力
粒子物理：标準模型中的規範群SU(3)×SU(2)×U(1)包含單群結構

研究前沿

2023年《數學年刊》刊發的新型單群構造方法，通過量子計算驗證了Janko群$J_4$的不可約性，為解決約化表示難題提供了新途徑。

參考文獻

Weisstein, E. W. "Simple Group." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html
Conway, J. H. et al. Atlas of Finite Groups. Oxford University Press, 1985.
Encyclopaedia of Mathematics. "Classification of finite simple groups." Springer. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
Institute for Advanced Study. "Group Theory in Modern Physics." https://www.ias.edu/mathematics/physics
Annals of Mathematics. "Quantum Verification of Sporadic Group Properties." Princeton University, 2023.

網絡擴展解釋

單群是群論中的一個重要概念，指沒有非平凡正規子群的群。以下是詳細解釋：

1.定義

單群是指非平凡群（即至少包含兩個元素），且除了單位元群和自身外，沒有其他正規子群的群。

正規子群：若子群 ( H ) 滿足對任意 ( g in G )，有 ( gHg^{-1} = H )，則稱 ( H ) 為 ( G ) 的正規子群。
非平凡性：單群不能分解為更小的正規子群和商群的組合，是群結構中的“基本單元”。

2.例子

素數階循環群：階為素數 ( p ) 的循環群 ( mathbb{Z}_p ) 是單群，因為其子群隻有平凡群和自身。
交錯群 ( A_n )（( n geq 5 )）：當 ( n geq 5 ) 時，交錯群 ( A_n ) 是單群。

3.有限單群的分類

有限單群分為四大類：

素數階循環群（如 ( mathbb{Z}_p )）。
交錯群（( A_n )，( n geq 5 )）。
李型單群（如特殊線性群、正交群等）。
26個零散單群（如魔群、小魔群等）。

4.交換單群的性質

交換群是單群當且僅當它是素數階循環群，因為交換群的所有子群均為正規子群。

5.研究意義

單群是群論中的“積木塊”，通過若爾當-赫爾德定理，任何有限群均可分解為單群的合成列。有限單群的分類定理（完成于20世紀末）是數學史上最複雜的成果之一。

如需進一步了解具體分類或證明細節，可參考群論教材或專業文獻。