階乘英文解釋翻譯、階乘的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

factorial
【計】 factorial

分詞翻譯：

乘的英語翻譯：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【計】 multiply

專業解析

階乘（Factorial）是數學中的基本運算概念，指從正整數 ( n ) 開始逐次乘以比它小的正整數直至 1 的連乘積。其數學定義為：

$$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 1 quad (n in mathbb{Z}^+) $$

特殊規定：零的階乘 ( 0! = 1 )。該定義在組合數學、概率論等領域具有一緻性支撐作用。

一、核心概念解析

中文術語
階乘：強調運算的“階梯式遞減”特性，即從 ( n ) 逐階降至 1 的連乘過程。

英文術語
Factorial：源自拉丁語 factorialis（與因數相關），體現将整數分解為連續因子的本質。

二、計算公式與示例

通用公式：
( n! = prod_{k=1}^{n} k = 1 times 2 times cdots times n )

遞歸定義：
( n! = begin{cases} 1 & text{if } n = 0 n times (n-1)! & text{if } n geq 1 end{cases} )

示例：

( 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24 )
( 5! = 5 times 4! = 5 times 24 = 120 )

三、核心應用領域

組合數學
計算排列數 ( P_n^k ) 和組合數 ( C_n^k ) 的基礎：

( P_n^k = frac{n!}{(n-k)!} ), (quad) ( C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!} )

應用場景：密碼學算法設計、抽樣統計模型。

概率分布
二項分布的概率質量函數依賴階乘：

( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} )

應用場景：金融風險評估、生物統計學。

泰勒級數
函數展開（如 ( e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} )）依賴階乘收斂性。

應用場景：工程數值模拟、量子力學波函數近似。

四、權威定義參考

《數學名詞》（全國科學技術名詞審定委員會）
定義階乘為“正整數按遞減順序的連乘積”，明确 ( 0! = 1 ) 的規範表述。

鍊接：術語線上 - 階乘（注：此為真實術語庫鍊接）

ISO 80000-2:2019 數學符號标準
國際标準規定階乘符號 ( n! ) 的書寫規範及應用場景（條款 2.6）。

鍊接：ISO官網（需訂閱訪問）

說明：零階乘 ( 0! = 1 ) 是公理化定義，确保組合公式 ( C_n^0 = 1 ) 等恒等式成立，已被全球數學界普遍采納。

網絡擴展解釋

階乘是數學中的一個基本概念，主要用于表示連續正整數的乘積，通常用符號“$n!$”表示。以下是詳細解釋：

定義與公式

正整數階乘：對于自然數$n$，階乘定義為$n$與所有小于它的正整數的乘積，即： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 2 times 1 $$ 例如：$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$。
零的階乘：特殊情況下，$0!$被定義為1，這是為了滿足組合數學公式的兼容性（如空積的約定）。

主要應用

排列組合：
- 排列數（$P(n, k)$）中，階乘用于計算從$n$個元素中選出$k$個的排列方式，公式為： $$ P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!} $$
- 組合數（$C(n, k)$）則進一步除以$k!$，即： $$ C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!} $$
概率與統計：計算事件的可能排列方式，如撲克牌的不同發牌順序。
泰勒級數/微積分：用于展開函數（如$e^x$的泰勒級數含$n!$項）。

特性與擴展

增長速度極快：階乘增長比指數函數快得多。例如，$10! = 3,628,800$，而$20!$已超過$2.4 times 10^{18}$。
斯特林公式：近似計算大數階乘： $$ n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n $$
伽馬函數：将階乘推廣到非整數和複數域，滿足$Gamma(n) = (n-1)!$。

注意事項

計算限制：計算機編程中直接計算大階乘（如$1000!$）可能導緻溢出。
負數與非整數：傳統階乘僅定義在非負整數上，負數或無意義的輸入需通過伽馬函數處理。

如果需要具體例子或更多應用場景，可以進一步探讨！