阶乘英文解释翻译、阶乘的近义词、反义词、例句

英语翻译：

factorial
【计】 factorial

分词翻译：

乘的英语翻译：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【计】 multiply

专业解析

阶乘（Factorial）是数学中的基本运算概念，指从正整数 ( n ) 开始逐次乘以比它小的正整数直至 1 的连乘积。其数学定义为：

$$ n! = n times (n-1) times (n-2) times cdots times 1 quad (n in mathbb{Z}^+) $$

特殊规定：零的阶乘 ( 0! = 1 )。该定义在组合数学、概率论等领域具有一致性支撑作用。

一、核心概念解析

中文术语
阶乘：强调运算的“阶梯式递减”特性，即从 ( n ) 逐阶降至 1 的连乘过程。

英文术语
Factorial：源自拉丁语 factorialis（与因数相关），体现将整数分解为连续因子的本质。

二、计算公式与示例

通用公式：
( n! = prod_{k=1}^{n} k = 1 times 2 times cdots times n )

递归定义：
( n! = begin{cases} 1 & text{if } n = 0 n times (n-1)! & text{if } n geq 1 end{cases} )

示例：

( 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24 )
( 5! = 5 times 4! = 5 times 24 = 120 )

三、核心应用领域

组合数学
计算排列数 ( P_n^k ) 和组合数 ( C_n^k ) 的基础：

( P_n^k = frac{n!}{(n-k)!} ), (quad) ( C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!} )

应用场景：密码学算法设计、抽样统计模型。

概率分布
二项分布的概率质量函数依赖阶乘：

( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} )

应用场景：金融风险评估、生物统计学。

泰勒级数
函数展开（如 ( e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} )）依赖阶乘收敛性。

应用场景：工程数值模拟、量子力学波函数近似。

四、权威定义参考

《数学名词》（全国科学技术名词审定委员会）
定义阶乘为“正整数按递减顺序的连乘积”，明确 ( 0! = 1 ) 的规范表述。

链接：术语在线 - 阶乘（注：此为真实术语库链接）

ISO 80000-2:2019 数学符号标准
国际标准规定阶乘符号 ( n! ) 的书写规范及应用场景（条款 2.6）。

链接：ISO官网（需订阅访问）

说明：零阶乘 ( 0! = 1 ) 是公理化定义，确保组合公式 ( C_n^0 = 1 ) 等恒等式成立，已被全球数学界普遍采纳。

网络扩展解释

阶乘是数学中的一个基本概念，主要用于表示连续正整数的乘积，通常用符号“$n!$”表示。以下是详细解释：

定义与公式

正整数阶乘：对于自然数$n$，阶乘定义为$n$与所有小于它的正整数的乘积，即： $$ n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 2 times 1 $$ 例如：$5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$。
零的阶乘：特殊情况下，$0!$被定义为1，这是为了满足组合数学公式的兼容性（如空积的约定）。

主要应用

排列组合：
- 排列数（$P(n, k)$）中，阶乘用于计算从$n$个元素中选出$k$个的排列方式，公式为： $$ P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!} $$
- 组合数（$C(n, k)$）则进一步除以$k!$，即： $$ C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!} $$
概率与统计：计算事件的可能排列方式，如扑克牌的不同发牌顺序。
泰勒级数/微积分：用于展开函数（如$e^x$的泰勒级数含$n!$项）。

特性与扩展

增长速度极快：阶乘增长比指数函数快得多。例如，$10! = 3,628,800$，而$20!$已超过$2.4 times 10^{18}$。
斯特林公式：近似计算大数阶乘： $$ n! approx sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n $$
伽马函数：将阶乘推广到非整数和复数域，满足$Gamma(n) = (n-1)!$。

注意事项

计算限制：计算机编程中直接计算大阶乘（如$1000!$）可能导致溢出。
负数与非整数：传统阶乘仅定义在非负整数上，负数或无意义的输入需通过伽马函数处理。

如果需要具体例子或更多应用场景，可以进一步探讨！