交比英文解釋翻譯、交比的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【經】 cross ratio

associate with; bargain; deal; deliver; fall; friend; hand over; join; meet
mutual; relationship
【醫】 venery

compare; compete; ratio; than
【醫】 proportion; ratio
【經】 Benelux; benelux customs union; benelux economic union

交比（cross ratio）是射影幾何中描述四個共線點比例關系的核心概念，又稱複比或非調和比。其數學定義為：對于共線點A、B、C、D，交比可表示為

$$ (A,B;C,D) = frac{AC cdot BD}{BC cdot AD} $$

其中線段長度需考慮符號約定。在英語語境中，該術語對應"cross ratio"或"anharmonic ratio"，牛津數學詞典将其定義為"四個共線點構成的雙不變量"（《牛津數學詞典》2023版）。

交比具有兩個核心特性：

該概念的應用延伸至計算機視覺領域，OpenCV等庫利用交比進行相機标定（參見Springer《計算機視覺算法》第7章）。國際數學聯盟(IMU)建議的術語對照表中，中文"交比"與英文"cross ratio"互為标準譯名（IMU術語标準化文件2024）。

注：本文參考文獻包括《射影幾何原理》（高等教育出版社）、《牛津數學詞典》及國際數學教育委員會(ICMI)術語規範文件。

交比是射影幾何中的核心概念，用于描述四個共線點或共點線束的比例關系，具有重要的不變性和對稱性。以下為詳細解釋：

共線四點交比
設共線四點 (A, B, C, D)，其交比定義為有向線段的比例關系：
[ (A, B; C, D) = frac{AC cdot BD}{BC cdot AD} ]
其中線段長度需考慮方向（如坐标系中的正負）。
複平面與射影直線
在複平面上，四點 (z_1, z_2, z_3, z_4) 的交比定義為：
[ (z_1, z_2; z_3, z_4) = frac{(z_3 - z_1)(z_4 - z_2)}{(z_4 - z_1)(z_3 - z_2)} ]
此定義可擴展至黎曼球面（複射影直線），且交比在射影變換下保持不變。

射影不變性
交比是射影變換下的不變量，即通過平移、旋轉或投影變換後，交比值不變。例如，四條直線交于一點時，任意截線所得四點的交比相同。
對稱性與排列變化
交比值隨點的排列順序變化，但僅有6種不同取值。例如：
[ (A, B; C, D) = rRightarrow(B, A; C, D) = frac{1}{r}, quad (A, C; B, D) = 1 - r ]
這種對稱性在幾何問題中常用于簡化計算。
特殊值意義
- 當交比為 (-1) 時，四點構成調和點列，具有調和共轭性。
- 交比為實數時，四點共線或共圓。

若四點 (A(0), B(1), C(2), D(3)) 共線，其交比為：
[ (A, B; C, D) = frac{(2-0)(3-1)}{(3-0)(2-1)} = frac{4}{3} ]
此值在射影變換（如縮放或平移）後保持不變。

交比通過比例關系揭示幾何結構的深層特性，是連接古典幾何與現代數學的重要工具。如需更深入的技術細節，可參考射影幾何教材或專業文獻。