赫姆霍茲方程式英文解釋翻譯、赫姆霍茲方程式的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【機】 Helmholtz equation
分詞翻譯：
姆的英語翻譯：
【醫】 mho
霍的英語翻譯：
quickly; suddenly
茲的英語翻譯：
at present; now; this
方程式的英語翻譯：
equation
【化】 equation
【醫】 equation
專業解析
赫姆霍茲方程式（Helmholtz Equation）是數學物理中的一個重要偏微分方程，廣泛應用于聲學、電磁學、量子力學和光學等領域。其标準形式為：
$$
abla phi + k phi = 0
$$
其中：
- $
abla$ 是拉普拉斯算子（Laplacian），
- $phi$ 是标量場函數，
- $k$ 是波數（與波長 $lambda$ 相關，$k = frac{2pi}{lambda}$）。
核心意義與物理背景
-
波動方程的穩态解
赫姆霍茲方程由時諧波動方程（$
abla phi - frac{1}{c} frac{partial phi}{partial t} = 0$）通過分離變量法推導而來，假設解具有 $phi(mathbf{r}, t) = phi(mathbf{r}) e^{-iomega t}$ 的形式。它描述了單色波（固定頻率 $omega$）在空間中的穩态分布，$k = frac{omega}{c}$ 表征波的空間振蕩特性。
-
本征值問題
在有限邊界條件下（如諧振腔），方程的解對應特定波數 $k$ 的本征函數和本征頻率，反映系統的固有振動模式。例如，聲學中的駐波、電磁波在波導中的傳播模式均由此方程描述。
典型應用場景
- 聲學：模拟聲波在介質中的傳播與共振（如房間聲場建模）。
- 電磁學：求解電磁波在自由空間或波導中的傳播（如天線輻射場分析）。
- 量子力學：定态薛定谔方程在勢能為零時可簡化為赫姆霍茲方程，描述自由粒子的波函數。
- 光學：分析激光腔模式與光衍射問題（如菲涅爾衍射積分）。
漢英術語對照
| 中文 |
英文 |
| 赫姆霍茲方程式 |
Helmholtz Equation |
| 拉普拉斯算子 |
Laplacian Operator |
| 波數 |
Wavenumber ($k$) |
| 本征函數 |
Eigenfunction |
| 時諧波 |
Time-harmonic Wave |
權威參考文獻
- 《數學物理方法》（Arfken & Weber）：系統推導方程來源及分離變量法求解流程。
- 《聲學基礎》（Pierce）：詳述聲學中赫姆霍茲方程的應用實例。
- 《電磁波理論》（Kong）：分析電磁場邊值問題的求解方法。
來源：經典物理學教材及工程數學文獻（因無直接可引用鍊接，保留來源描述）。
網絡擴展解釋
亥姆霍茲方程式（Helmholtz equation）是數學物理中的一個重要偏微分方程，廣泛應用于波動現象的穩态分析，例如電磁學、聲學、量子力學等領域。其一般形式為：
$$
abla psi + k psi = 0
$$
其中：
- $
abla$ 是拉普拉斯算子（對空間坐标的二階導數）；
- $k$ 是實數或複數常數（稱為波數，與波長相關）；
- $psi$ 是待求解的标量函數（如電磁場、聲壓等）。
方程的物理意義
亥姆霍茲方程描述了時間諧波（單頻振動）的穩态解。例如：
- 波動方程的簡化：當波動方程 $
abla psi = frac{1}{v} frac{partial psi}{partial t}$ 的解具有 $psi(mathbf{r}, t) = u(mathbf{r}) e^{-iomega t}$ 的形式時，代入後即可導出亥姆霍茲方程。
- 穩态振動：方程的解對應物理系統中某一固定頻率的穩定振動模式，如光波在波導中的傳播或聲波在封閉空間的共振。
數學特性與解法
- 線性與疊加性：方程是線性的，解的線性組合仍為解。
- 分離變量法：在直角坐标、球坐标或柱坐标系中，可通過分離變量法求解。
- 格林函數法：用于處理非齊次亥姆霍茲方程（含源項 $
abla psi + k psi = f(mathbf{r})$）。
典型應用場景
- 電磁學：分析電磁波在介質中的傳播（如光纖、天線輻射）；
- 聲學：研究聲波在房間或樂器腔體内的共振；
- 量子力學：定态薛定谔方程可視為亥姆霍茲方程的變體。
示例解：平面波
在無界空間中，方程的一個基本解為平面波形式：
$$
psi(mathbf{r}) = A e^{i mathbf{k} cdot mathbf{r}}
$$
其中 $mathbf{k}$ 是波矢，滿足 $|mathbf{k}| = k$，$A$ 是振幅。
與其他方程的關系
- 當 $k=0$ 時，方程退化為拉普拉斯方程 $
abla psi = 0$；
- 與波動方程：亥姆霍茲方程是波動方程在時間域傅裡葉變換後的頻域形式。
通過以上分析可見，亥姆霍茲方程是連接波動現象與穩态分析的核心工具，其解法與應用貫穿多個物理與工程領域。
分類
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