赫姆霍兹方程式英文解释翻译、赫姆霍兹方程式的近义词、反义词、例句
英语翻译：
【机】 Helmholtz equation
分词翻译：
姆的英语翻译：
【医】 mho
霍的英语翻译：
quickly; suddenly
兹的英语翻译：
at present; now; this
方程式的英语翻译：
equation
【化】 equation
【医】 equation
专业解析
赫姆霍兹方程式（Helmholtz Equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于声学、电磁学、量子力学和光学等领域。其标准形式为：
$$
abla phi + k phi = 0
$$
其中：
- $
abla$ 是拉普拉斯算子（Laplacian），
- $phi$ 是标量场函数，
- $k$ 是波数（与波长 $lambda$ 相关，$k = frac{2pi}{lambda}$）。
核心意义与物理背景
-
波动方程的稳态解
赫姆霍兹方程由时谐波动方程（$
abla phi - frac{1}{c} frac{partial phi}{partial t} = 0$）通过分离变量法推导而来，假设解具有 $phi(mathbf{r}, t) = phi(mathbf{r}) e^{-iomega t}$ 的形式。它描述了单色波（固定频率 $omega$）在空间中的稳态分布，$k = frac{omega}{c}$ 表征波的空间振荡特性。
-
本征值问题
在有限边界条件下（如谐振腔），方程的解对应特定波数 $k$ 的本征函数和本征频率，反映系统的固有振动模式。例如，声学中的驻波、电磁波在波导中的传播模式均由此方程描述。
典型应用场景
- 声学：模拟声波在介质中的传播与共振（如房间声场建模）。
- 电磁学：求解电磁波在自由空间或波导中的传播（如天线辐射场分析）。
- 量子力学：定态薛定谔方程在势能为零时可简化为赫姆霍兹方程，描述自由粒子的波函数。
- 光学：分析激光腔模式与光衍射问题（如菲涅尔衍射积分）。
汉英术语对照
| 中文 |
英文 |
| 赫姆霍兹方程式 |
Helmholtz Equation |
| 拉普拉斯算子 |
Laplacian Operator |
| 波数 |
Wavenumber ($k$) |
| 本征函数 |
Eigenfunction |
| 时谐波 |
Time-harmonic Wave |
权威参考文献
- 《数学物理方法》（Arfken & Weber）：系统推导方程来源及分离变量法求解流程。
- 《声学基础》（Pierce）：详述声学中赫姆霍兹方程的应用实例。
- 《电磁波理论》（Kong）：分析电磁场边值问题的求解方法。
来源：经典物理学教材及工程数学文献（因无直接可引用链接，保留来源描述）。
网络扩展解释
亥姆霍兹方程式（Helmholtz equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于波动现象的稳态分析，例如电磁学、声学、量子力学等领域。其一般形式为：
$$
abla psi + k psi = 0
$$
其中：
- $
abla$ 是拉普拉斯算子（对空间坐标的二阶导数）；
- $k$ 是实数或复数常数（称为波数，与波长相关）；
- $psi$ 是待求解的标量函数（如电磁场、声压等）。
方程的物理意义
亥姆霍兹方程描述了时间谐波（单频振动）的稳态解。例如：
- 波动方程的简化：当波动方程 $
abla psi = frac{1}{v} frac{partial psi}{partial t}$ 的解具有 $psi(mathbf{r}, t) = u(mathbf{r}) e^{-iomega t}$ 的形式时，代入后即可导出亥姆霍兹方程。
- 稳态振动：方程的解对应物理系统中某一固定频率的稳定振动模式，如光波在波导中的传播或声波在封闭空间的共振。
数学特性与解法
- 线性与叠加性：方程是线性的，解的线性组合仍为解。
- 分离变量法：在直角坐标、球坐标或柱坐标系中，可通过分离变量法求解。
- 格林函数法：用于处理非齐次亥姆霍兹方程（含源项 $
abla psi + k psi = f(mathbf{r})$）。
典型应用场景
- 电磁学：分析电磁波在介质中的传播（如光纤、天线辐射）；
- 声学：研究声波在房间或乐器腔体内的共振；
- 量子力学：定态薛定谔方程可视为亥姆霍兹方程的变体。
示例解：平面波
在无界空间中，方程的一个基本解为平面波形式：
$$
psi(mathbf{r}) = A e^{i mathbf{k} cdot mathbf{r}}
$$
其中 $mathbf{k}$ 是波矢，满足 $|mathbf{k}| = k$，$A$ 是振幅。
与其他方程的关系
- 当 $k=0$ 时，方程退化为拉普拉斯方程 $
abla psi = 0$；
- 与波动方程：亥姆霍兹方程是波动方程在时间域傅里叶变换后的频域形式。
通过以上分析可见，亥姆霍兹方程是连接波动现象与稳态分析的核心工具，其解法与应用贯穿多个物理与工程领域。
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