雙線性的英文解釋翻譯、雙線性的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

bilinear

分詞翻譯：

雙線的英語翻譯：

crewel
【電】 twin line; twin wire

專業解析

術語解釋：雙線性的（Bilinear）

一、中文釋義

“雙線性的”是數學術語，指一個函數或映射同時對其兩個自變量分别滿足線性性質。具體表現為：

當固定其中一個自變量時，函數對另一個自變量是線性的；
該性質需同時適用于兩個自變量。

二、英文對應術語

英文譯為“bilinear”，常見于代數與泛函分析領域。例如：

Bilinear form（雙線性形式）：指一個函數 ( B: V times V rightarrow mathbb{R} )（( V ) 是向量空間），滿足：
$$ B(au + bv, w) = aB(u, w) + bB(v, w)

B(u, cv + dw) = cB(u, v) + dB(u, w) $$

其中 ( u,v,w in V )，( a,b,c,d ) 為标量。

三、數學定義與性質

設函數 ( f: X times Y rightarrow Z )（( X,Y,Z ) 為向量空間），若滿足以下條件則稱為雙線性映射：

對第一個變量線性：
( f(ax_1 + bx_2, y) = af(x_1, y) + bf(x_2, y) )

對第二個變量線性：
( f(x, cy_1 + dy_2) = cf(x, y_1) + df(x, y_2) )

（來源：《數學詞典》，科學出版社）

四、典型應用場景

張量分析：雙線性形式是二階張量的核心表達，例如度量張量 ( g_{ij} ) 定義黎曼流形上的内積。
量子力學：波函數的疊加原理涉及雙線性運算。
優化理論：目标函數若為雙線性（如 ( x^T A y )），需特殊算法求解。

參考來源：

《線性代數及其應用》（David C. Lay）第6章，雙線性形式定義。
《數學百科辭典》科學出版社，2018年版。
“Bilinear Forms in Physics” - Journal of Mathematical Physics, Vol. 34.
斯坦福大學線性代數公開課講義：雙線性映射的應用案例。

網絡擴展解釋

雙線性是一個數學概念，指函數或映射對兩個輸入變量分别滿足線性性質的特性。以下是詳細解釋：

1.數學定義

雙線性函數指從兩個向量空間$V_1 times V_2$到域$K$的映射$f$，滿足對每個變量單獨線性：

對第一個變量線性：$f(a x_1 + b x_2, y) = a f(x_1, y) + b f(x_2, y)$
對第二個變量線性：$f(x, a y_1 + b y_2) = a f(x, y_1) + b f(x, y_2)$
其中$a, b in K$，$x_i in V_1$，$y_i in V_2$（）。

2.核心性質

雙線性型：若$V_1=V_2$，則稱$f$為雙線性型（如矩陣乘法$f(x,y)=x^T A y$）。
非退化性：若度量矩陣可逆，則雙線性函數非退化，否則退化（）。
對稱/反對稱：若$f(x,y)=f(y,x)$或$f(x,y)=-f(y,x)$，則分别具有對稱或反對稱性。

3.典型例子

向量内積：滿足雙線性性的運算，如歐幾裡得空間中的點積。
外積（叉積）：如三維空間中向量的叉積運算（）。
矩陣乘法：$f(A,B)=A cdot B$對矩陣元素滿足雙線性。

4.應用領域

密碼學：雙線性群用于構造加密方案，如橢圓曲線上的雙線性對（）。
材料科學：描述彈性與塑性階段均為線性的雙線性模型（）。
優化問題：線性規劃中約束條件可能涉及雙線性關系（）。

5.與其他概念的區别

線性 vs 雙線性：線性指單變量線性組合，雙線性強調兩個變量分别獨立滿足線性。
多線性推廣：雙線性是多重線性映射的特例（僅兩個變量）。

如需進一步了解具體領域（如密碼學或材料模型）的雙線性應用，可參考相關文獻或專業教材。