双线性的英文解释翻译、双线性的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

bilinear

分词翻译：

双线的英语翻译：

crewel
【电】 twin line; twin wire

专业解析

术语解释：双线性的（Bilinear）

一、中文释义

“双线性的”是数学术语，指一个函数或映射同时对其两个自变量分别满足线性性质。具体表现为：

当固定其中一个自变量时，函数对另一个自变量是线性的；
该性质需同时适用于两个自变量。

二、英文对应术语

英文译为“bilinear”，常见于代数与泛函分析领域。例如：

Bilinear form（双线性形式）：指一个函数 ( B: V times V rightarrow mathbb{R} )（( V ) 是向量空间），满足：
$$ B(au + bv, w) = aB(u, w) + bB(v, w)

B(u, cv + dw) = cB(u, v) + dB(u, w) $$

其中 ( u,v,w in V )，( a,b,c,d ) 为标量。

三、数学定义与性质

设函数 ( f: X times Y rightarrow Z )（( X,Y,Z ) 为向量空间），若满足以下条件则称为双线性映射：

对第一个变量线性：
( f(ax_1 + bx_2, y) = af(x_1, y) + bf(x_2, y) )

对第二个变量线性：
( f(x, cy_1 + dy_2) = cf(x, y_1) + df(x, y_2) )

（来源：《数学词典》，科学出版社）

四、典型应用场景

张量分析：双线性形式是二阶张量的核心表达，例如度量张量 ( g_{ij} ) 定义黎曼流形上的内积。
量子力学：波函数的叠加原理涉及双线性运算。
优化理论：目标函数若为双线性（如 ( x^T A y )），需特殊算法求解。

参考来源：

《线性代数及其应用》（David C. Lay）第6章，双线性形式定义。
《数学百科辞典》科学出版社，2018年版。
“Bilinear Forms in Physics” - Journal of Mathematical Physics, Vol. 34.
斯坦福大学线性代数公开课讲义：双线性映射的应用案例。

网络扩展解释

双线性是一个数学概念，指函数或映射对两个输入变量分别满足线性性质的特性。以下是详细解释：

1.数学定义

双线性函数指从两个向量空间$V_1 times V_2$到域$K$的映射$f$，满足对每个变量单独线性：

对第一个变量线性：$f(a x_1 + b x_2, y) = a f(x_1, y) + b f(x_2, y)$
对第二个变量线性：$f(x, a y_1 + b y_2) = a f(x, y_1) + b f(x, y_2)$
其中$a, b in K$，$x_i in V_1$，$y_i in V_2$（）。

2.核心性质

双线性型：若$V_1=V_2$，则称$f$为双线性型（如矩阵乘法$f(x,y)=x^T A y$）。
非退化性：若度量矩阵可逆，则双线性函数非退化，否则退化（）。
对称/反对称：若$f(x,y)=f(y,x)$或$f(x,y)=-f(y,x)$，则分别具有对称或反对称性。

3.典型例子

向量内积：满足双线性性的运算，如欧几里得空间中的点积。
外积（叉积）：如三维空间中向量的叉积运算（）。
矩阵乘法：$f(A,B)=A cdot B$对矩阵元素满足双线性。

4.应用领域

密码学：双线性群用于构造加密方案，如椭圆曲线上的双线性对（）。
材料科学：描述弹性与塑性阶段均为线性的双线性模型（）。
优化问题：线性规划中约束条件可能涉及双线性关系（）。

5.与其他概念的区别

线性 vs 双线性：线性指单变量线性组合，双线性强调两个变量分别独立满足线性。
多线性推广：双线性是多重线性映射的特例（仅两个变量）。

如需进一步了解具体领域（如密码学或材料模型）的双线性应用，可参考相关文献或专业教材。