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primal problem是什麼意思，primal problem的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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常用詞典

  • 原始問題，主要問題

    • 例句

  • The foreword part is brief primal problem analysing submitting the main body of a book.

    引言部分簡要提出本文分析的主要問題。

  • After a limited number of iterations, we can get the optimal solution of the primal problem.

    在經過有限次疊代之後，可以求得原問題的最優解。

  • The maximization problem is then called the primal problem, and the minimization is the dual problem.

    在這個意義上最大化問題會被稱為初始問題，最小化問題就稱為對偶問題。

  • The distortion of assets information is the primal problem of accounting information disclosure.

    資産信息失真是會計信息失真的主要問題。

  • This paper introduces the situation and primal problem of higher agricultural engineering education in Fujian Province.

    介紹了福建省高等農業工程教育現狀及存在的主要問題。

    • 專業解析

    在數學優化領域，原始問題（Primal Problem） 是指需要直接求解的最優化問題本身。它通常指代帶約束條件的最小化（或最大化）目标函數的問題。理解原始問題及其對應的對偶問題（Dual Problem） 是優化理論的核心，尤其在凸優化、線性規劃、機器學習等領域至關重要。

    以下是關于“原始問題”的詳細解釋：

    1. 核心定義：

      • 原始問題是最初被提出的、需要直接解決的優化問題。
      • 它通常表述為在滿足一系列約束條件（Constraints） 的前提下，尋找決策變量的值，使得某個目标函數（Objective Function） 達到最小值（或最大值）。
      • 數學上，一個标準的（最小化）原始問題可以表示為： $$ begin{aligned} min_{x} quad & f_0(x) text{s.t.} quad & f_i(x) leq 0, quad i = 1, dots, m & h_j(x) = 0, quad j = 1, dots, p end{aligned} $$ 其中：
        • ( x ) 是決策變量向量。
        • ( f_0(x) ) 是需要最小化的目标函數。
        • ( f_i(x) leq 0 ) 是不等式約束（共有 ( m ) 個）。
        • ( h_j(x) = 0 ) 是等式約束（共有 ( p ) 個）。
      • 來源：該标準形式定義廣泛見于優化教材和文獻，例如斯坦福大學Stephen Boyd等人的經典教材《Convex Optimization》。

    2. 與對偶問題的關系：

      • 許多優化問題（特别是凸優化問題）都存在一個與之相關聯的對偶問題（Dual Problem）。
      • 對偶問題是通過對原始問題的約束引入拉格朗日乘子（Lagrange Multipliers） 并構造拉格朗日函數（Lagrangian），然後通過某種變換（如最小最大化或最大最小化）得到的一個新優化問題。
      • 原始問題和對偶問題之間存在着深刻的理論聯繫：
        • 弱對偶性（Weak Duality）：對偶問題的最優值（假設是最大化問題）總是小于或等于原始問題的最優值（最小化問題）。這個差值稱為對偶間隙（Duality Gap）。
        • 強對偶性（Strong Duality）：對于凸優化問題且在滿足某些約束規範（如Slater條件）的情況下，對偶間隙為零。這意味着對偶問題的最優值等于原始問題的最優值。此時，求解對偶問題等價于求解原始問題，有時對偶問題更容易求解或能提供更多洞見。
      • 來源：對偶理論是優化理論的基礎部分，在MIT OpenCourseWare的優化課程講義、IEEE Transactions on Automatic Control等期刊論文中均有詳細闡述。

    3. 重要性：

      • 理論基礎：原始問題和對偶問題共同構成了優化理論的核心框架，揭示了優化問題的内在結構和性質。
      • 求解算法：許多高效算法（如拉格朗日乘子法、增廣拉格朗日法、ADMM算法）都依賴于原始問題和對偶問題的交互疊代求解。
      • 敏感性分析：對偶變量（拉格朗日乘子）具有重要的經濟學或物理意義，它們表示原始問題中約束條件的“影子價格”或“邊際成本”，反映了約束條件對目标函數最優值的影響程度。
      • 問題轉化：有時原始問題難以直接求解，但其對偶問題可能更簡單（例如約束更少、結構更清晰），或者對偶問題的最優解能幫助找到原始問題的最優解。
      • 來源：優化算法的設計和對偶變量的解釋在運籌學、經濟學（如影子價格概念）和工程領域的應用文獻中廣泛讨論，例如INFORMS（運籌學與管理科學協會）的相關出版物。

    簡單示例： 考慮一個線性規劃問題： 原始問題 (Primal): $$ begin{aligned} min{x} quad & c^T x text{s.t.} quad & Ax = b & x geq 0 end{aligned} $$ 其對應的對偶問題 (Dual) 為： $$ begin{aligned} max{y} quad & b^T y text{s.t.} quad & A^T y leq c end{aligned} $$ 線上性規劃中，強對偶性成立（如果原始問題有最優解），原始最優值等于對偶最優值。來源：線性規劃的對偶理論是标準内容，可見于Wolfram MathWorld等數學資源網站或任何線性規劃教材。

    網絡擴展資料

    “Primal problem”在不同語境中有不同含義，需結合領域分析：

    一、直譯與基本概念

    二、數學優化領域的專業術語
    在優化理論（如線性規劃、對偶性分析）中，“primal problem”特指原問題，與“對偶問題（dual problem）”成對出現。

    三、應用場景舉例

    1. 線性規劃：原問題與對偶問題在資源分配中互為補充，例如企業生産計劃與資源定價的關系。
    2. 經濟學：原問題可能描述生産者的成本最小化，對偶問題則對應消費者的效用最大化。

    提示：若需具體數學公式或進一步案例，可提供領域方向以便補充。

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