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primal problem是什么意思，primal problem的意思翻译、用法、同义词、例句

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常用词典

  • 原始问题，主要问题

    • 例句

  • The foreword part is brief primal problem analysing submitting the main body of a book.

    引言部分简要提出本文分析的主要问题。

  • After a limited number of iterations, we can get the optimal solution of the primal problem.

    在经过有限次迭代之后，可以求得原问题的最优解。

  • The maximization problem is then called the primal problem, and the minimization is the dual problem.

    在这个意义上最大化问题会被称为初始问题，最小化问题就称为对偶问题。

  • The distortion of assets information is the primal problem of accounting information disclosure.

    资产信息失真是会计信息失真的主要问题。

  • This paper introduces the situation and primal problem of higher agricultural engineering education in Fujian Province.

    介绍了福建省高等农业工程教育现状及存在的主要问题。

    • 专业解析

    在数学优化领域，原始问题（Primal Problem） 是指需要直接求解的最优化问题本身。它通常指代带约束条件的最小化（或最大化）目标函数的问题。理解原始问题及其对应的对偶问题（Dual Problem） 是优化理论的核心，尤其在凸优化、线性规划、机器学习等领域至关重要。

    以下是关于“原始问题”的详细解释：

    1. 核心定义：

      • 原始问题是最初被提出的、需要直接解决的优化问题。
      • 它通常表述为在满足一系列约束条件（Constraints） 的前提下，寻找决策变量的值，使得某个目标函数（Objective Function） 达到最小值（或最大值）。
      • 数学上，一个标准的（最小化）原始问题可以表示为： $$ begin{aligned} min_{x} quad & f_0(x) text{s.t.} quad & f_i(x) leq 0, quad i = 1, dots, m & h_j(x) = 0, quad j = 1, dots, p end{aligned} $$ 其中：
        • ( x ) 是决策变量向量。
        • ( f_0(x) ) 是需要最小化的目标函数。
        • ( f_i(x) leq 0 ) 是不等式约束（共有 ( m ) 个）。
        • ( h_j(x) = 0 ) 是等式约束（共有 ( p ) 个）。
      • 来源：该标准形式定义广泛见于优化教材和文献，例如斯坦福大学Stephen Boyd等人的经典教材《Convex Optimization》。

    2. 与对偶问题的关系：

      • 许多优化问题（特别是凸优化问题）都存在一个与之相关联的对偶问题（Dual Problem）。
      • 对偶问题是通过对原始问题的约束引入拉格朗日乘子（Lagrange Multipliers） 并构造拉格朗日函数（Lagrangian），然后通过某种变换（如最小最大化或最大最小化）得到的一个新优化问题。
      • 原始问题和对偶问题之间存在着深刻的理论联系：
        • 弱对偶性（Weak Duality）：对偶问题的最优值（假设是最大化问题）总是小于或等于原始问题的最优值（最小化问题）。这个差值称为对偶间隙（Duality Gap）。
        • 强对偶性（Strong Duality）：对于凸优化问题且在满足某些约束规范（如Slater条件）的情况下，对偶间隙为零。这意味着对偶问题的最优值等于原始问题的最优值。此时，求解对偶问题等价于求解原始问题，有时对偶问题更容易求解或能提供更多洞见。
      • 来源：对偶理论是优化理论的基础部分，在MIT OpenCourseWare的优化课程讲义、IEEE Transactions on Automatic Control等期刊论文中均有详细阐述。

    3. 重要性：

      • 理论基础：原始问题和对偶问题共同构成了优化理论的核心框架，揭示了优化问题的内在结构和性质。
      • 求解算法：许多高效算法（如拉格朗日乘子法、增广拉格朗日法、ADMM算法）都依赖于原始问题和对偶问题的交互迭代求解。
      • 敏感性分析：对偶变量（拉格朗日乘子）具有重要的经济学或物理意义，它们表示原始问题中约束条件的“影子价格”或“边际成本”，反映了约束条件对目标函数最优值的影响程度。
      • 问题转化：有时原始问题难以直接求解，但其对偶问题可能更简单（例如约束更少、结构更清晰），或者对偶问题的最优解能帮助找到原始问题的最优解。
      • 来源：优化算法的设计和对偶变量的解释在运筹学、经济学（如影子价格概念）和工程领域的应用文献中广泛讨论，例如INFORMS（运筹学与管理科学协会）的相关出版物。

    简单示例： 考虑一个线性规划问题： 原始问题 (Primal): $$ begin{aligned} min{x} quad & c^T x text{s.t.} quad & Ax = b & x geq 0 end{aligned} $$ 其对应的对偶问题 (Dual) 为： $$ begin{aligned} max{y} quad & b^T y text{s.t.} quad & A^T y leq c end{aligned} $$ 在线性规划中，强对偶性成立（如果原始问题有最优解），原始最优值等于对偶最优值。来源：线性规划的对偶理论是标准内容，可见于Wolfram MathWorld等数学资源网站或任何线性规划教材。

    网络扩展资料

    “Primal problem”在不同语境中有不同含义，需结合领域分析：

    一、直译与基本概念

    二、数学优化领域的专业术语
    在优化理论（如线性规划、对偶性分析）中，“primal problem”特指原问题，与“对偶问题（dual problem）”成对出现。

    三、应用场景举例

    1. 线性规划：原问题与对偶问题在资源分配中互为补充，例如企业生产计划与资源定价的关系。
    2. 经济学：原问题可能描述生产者的成本最小化，对偶问题则对应消费者的效用最大化。

    提示：若需具体数学公式或进一步案例，可提供领域方向以便补充。

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