多重分形
Scale invariance can be described by means of fractal and multifractal models.
尺度不變性可用分形和多重分形模型來表征。
In this paper, we study the multifractal analysis of local entropy and topological sequence pressure.
本文主要研究了動力系統中的局部熵的重分形分析和序列拓撲壓的定義與性質。
The result shows that the sleep EEG series has the multifractal features as well as long range correlation.
計算結果表明，睡眠腦電序列具有長程相關性，而且是多重分形過程。
The results show that the multifractal characteristics of GSRE are closely related to the geodynamic environment.
結果表明，地震活動時空分布的多重分形特征與不同地球動力學環境關系密切。
A multifractal analysis approach to the problem of image edge detection use in the medical diagnosis is proposed.
本文提出了應用在醫療診斷上的一種基于多重分形分析的邊緣檢測方法，并應用在變形性骨炎的診斷中。
多重分形（multifractal）是分形幾何理論的重要擴展，用于描述複雜系統中不同尺度下的非均勻标度行為。與單一分形不同，多重分形通過一組分形維數來刻畫系統内不同區域的異質性特征。其數學定義可表示為： $$ μ(B_r(x)) sim r^{α(x)} $$ 其中$μ$為局部測度，$B_r(x)$是以$x$為中心、半徑$r$的球體，$α(x)$稱為奇異性指數。通過配分函數法可導出廣義分形維數$D_q$，完整表征系統的多重分形譜。
該理論在多個領域具有重要應用價值：
最新研究進展表明，多重分形分析可有效識别複雜系統的相變臨界點（PhysRevE.105.024123），并為神經網絡動力學建模提供新工具（Nature Physics, 2023）。經典文獻推薦參閱Feder的《Fractals》專著及Halsey等人在《Physical Review A》發表的奠基性論文。
Multifractal（多重分形）是數學和物理學中用于描述複雜系統多尺度結構的術語，結合了分形幾何與統計學的概念。以下是詳細解釋：
通常通過分形維數集合或Hölder指數分布描述。例如，若一個系統的局部标度指數為 $alpha$，對應的分形維數為 $f(alpha)$，則其多重分形譜可表示為： $$ f(alpha) = tau(alpha) - alpha q + D_q $$ 其中 $D_q$ 是廣義分形維數，$tau(alpha)$ 為質量指數。
單一分形（如科赫曲線）僅需一個分形維數，而多重分形需一系列參數，適用于更複雜的非均勻系統。
更多技術細節可參考分形幾何相關文獻或專業詞典（如海詞詞典）。
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