adj. 雙調和的；雙諧波的；重調的
The method in this paper is much more convenient than that of Lekhniskii's with biharmonic function.
本文的方法比列赫尼茨基的重調和函數法更為簡便。
Methods Using the fundamental solution of the biharmonic operator, the sequence of fundamental solutions is defined and theoretical derivation is given.
方法利用重調和算子的基本解，定義一基本解系列，進行理論推導。
The expression of the elastic field round the outside of the disk inclusion has been deduced analytically by the method of the harmonic and biharmonic potentials.
本文采用調和勢和雙調和勢法，導出了圓盤形夾雜外部彈性場的解析表達式。
By using Green function, the boundary integral formula and natural boundary integral equation for the boundary value problems of biharmonic equation were obtained.
利用Green函數，根據雙調和方程邊值問題的邊界積分公式和自然邊界積分方程。
It is not only introduced the two measures taken to solve the biharmonic equations, but the topical grids of H-type, C-type, and O-type are generated with this equation.
文中不僅對數值求解雙調和方程的兩種不同方法作了介紹，還利用該方程生成了典型的H型、C型、O型網格。
biharmonic（雙調和）是一個數學和物理學中的重要術語，主要用于描述涉及四階偏微分方程的函數或算子。其核心含義源于對調和函數概念的擴展，即要求函數滿足兩次拉普拉斯算子（Laplace operator）作用後為零的條件。以下是詳細解釋：
若函數 ( u ) 在區域 ( Omega ) 上滿足雙調和方程（Biharmonic Equation）： $$ Delta u = Delta(Delta u) = 0 $$ 其中 ( Delta ) 是拉普拉斯算子（( Delta u = frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} + frac{partial u}{partial z} )），則稱 ( u ) 為雙調和函數。該方程可進一步展開為： $$
abla u = frac{partial u}{partial x} + 2frac{partial u}{partial x partial y} + frac{partial u}{partial y} = 0 quad text{(二維情形)} $$ 雙調和函數在複分析、彈性力學等領域有廣泛應用，其解需滿足更高階的光滑性條件（來源：Arfken, G., Weber, H., Harris, F. Mathematical Methods for Physicists）。
彈性力學
在薄闆彎曲理論中，闆的撓度 ( w(x,y) ) 滿足雙調和方程： $$ Delta w = frac{q}{D} $$ 其中 ( q ) 為載荷強度，( D ) 為闆的彎曲剛度。這一方程由基爾霍夫（Kirchhoff）提出，是分析建築結構、機械部件應力的基礎（來源：Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S. Theory of Plates and Shells）。
流體力學
斯托克斯流（低雷諾數流動）的流函數 ( psi ) 也滿足 ( Delta psi = 0 )，用于模拟微尺度流動（如生物細胞運動）。
術語 "biharmonic" 源自希臘語前綴 "bi-"（雙）與 "harmonia"（調和），最早由19世紀數學家如斯托克斯（George Stokes）在流體力學研究中系統引入，後成為數學物理方程的核心概念之一（來源：Katz, V. A History of Mathematics）。
雙調和理論通過高階導數刻畫物理系統的平衡狀态，為工程結構設計、流體動力學仿真提供了關鍵數學工具。
“Biharmonic”是一個數學和物理學領域的專業術語，其核心含義為“雙調”，由前綴“bi-”（雙）和“harmonic”（調和）組合而成。以下是綜合多來源的詳細解釋：
在數學分析中，雙調和函數（biharmonic function）是調和函數的擴展，滿足雙調和方程： $$ Delta u = 0 $$ 其中$Delta$為拉普拉斯算子。該方程在彈性力學、流體動力學和薄闆彎曲問題中有重要應用。
如需更具體的應用案例或公式推導，可進一步參考偏微分方程或彈性力學領域的專業文獻。
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