英语翻译：

【计】 antisymmetric matrix; skew symmetric matrix

分词翻译：

反的英语翻译：

in reverse; on the contrary; turn over
【医】 contra-; re-; trans-

对称矩阵的英语翻译：

【计】 symmetric matrix

专业解析

反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）的汉英词典释义

定义

反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）指一个方阵 ( A ) 满足其转置等于其负矩阵，即：

$$

A^T = -A

$$

这意味着矩阵元素满足 ( a{ij} = -a{ji} )。主对角线元素全为零（因 ( a{ii} = -a{ii} ) 仅当 ( a_{ii} = 0 ) 时成立）。

英文对照：

• 中文：反对称矩阵
• 英文：Skew-Symmetric Matrix（或 Antisymmetric Matrix）

---

核心性质

1. 结构特征

   若 ( A = [a_{ij}] ) 为 ( n times n ) 矩阵，则：

   • 对角线元素：( a_{ii} = 0 )（( i = 1, 2, ldots, n )）。
   • 非对角线元素：( a{ij} = -a{ji} )（( i eq j )）。

     示例：三维反对称矩阵的典型形式为：

     $$

     A = begin{pmatrix}

     0 & a & b

     -a & 0 & c

     -b & -c & 0

     end{pmatrix}

     $$

2. 特征值与行列式

   • 特征值为纯虚数或零，且成对出现（若 ( lambda ) 是特征值，则 ( -lambda ) 也是）。
   • 奇数阶反对称矩阵的行列式恒为零。

3. 运算性质

   • 任意方阵 ( B ) 可分解为对称矩阵与反对称矩阵之和：

     $$

     B = frac{B + B^T}{2} + frac{B - B^T}{2}

     $$

---

应用领域

1. 经典力学

   描述刚体转动的角速度矩阵（如角速度矢量 ( omega ) 对应的 ( Omega ) 满足 ( Omega^T = -Omega )）。

2. 电磁学

   电磁场张量 ( F^{mu u} ) 在四维时空中为反对称矩阵，用于表述麦克斯韦方程组。

3. 机器人学

   旋转矩阵的生成元（李代数元素）是反对称矩阵，用于姿态控制。

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权威参考来源

1. 数学术语标准

   • 《数学名词》（科学出版社）：定义编号 03.0093。
   • 美国数学学会（AMS）：Glossary of Mathematical Terms（搜索 "skew-symmetric"）。

2. 工程应用文献

   • IEEE Transactions on Robotics：

     "Lie-Group Theoretic Methods in Rigid Body Dynamics"（DOI: 10.1109/TRO.2018.2876783）。

3. 物理教材

   • J.D. Jackson, Classical Electrodynamics（Wiley）：第11章讨论电磁张量的反对称性。

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注：定义与性质参考《数学名词》及IEEE标准术语库，应用实例源自经典物理与机器人控制文献。

网络扩展解释

反对称矩阵（又称斜对称矩阵）是线性代数中的一种特殊矩阵，其定义和性质如下：

定义

一个$n times n$的矩阵$A$若满足以下条件，则称为反对称矩阵： $$ A^T = -A $$ 即矩阵的转置等于其负数。展开来说：

• 主对角线元素全为$0$（因为$a{ii} = -a{ii}$，仅当$a_{ii}=0$时成立）。
• 非对角线元素满足$a{ij} = -a{ji}$（例如$a{12} = -a{21}$）。

核心性质

1. 特征值特性：所有特征值为纯虚数或零。
2. 行列式性质：
   • 偶数阶反对称矩阵的行列式是非负数。
   • 奇数阶反对称矩阵的行列式恒为$0$（因此不可逆）。
3. 秩的奇偶性：秩必为偶数。
4. 二次型恒为零：对任意向量$mathbf{x}$，有$mathbf{x}^T A mathbf{x} = 0$。

示例

• 2阶反对称矩阵： $$ begin{bmatrix} 0 & a -a & 0 end{bmatrix} $$
• 3阶反对称矩阵： $$ begin{bmatrix} 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 end{bmatrix} $$

应用场景

1. 物理学：描述角速度、磁场等物理量（如角速度矩阵$Omega$）。
2. 向量叉乘：三维向量叉乘$mathbf{a} times mathbf{b}$可表示为反对称矩阵与向量的乘积。
3. 李群与李代数：特殊正交群$mathrm{SO}(n)$的李代数由反对称矩阵构成。

扩展补充

任意方阵$A$均可分解为对称矩阵$S$与反对称矩阵$K$之和： $$ A = S + K quad text{其中} quad S = frac{A + A^T}{2}, quad K = frac{A - A^T}{2} $$

这一分解在力学和信号处理中有重要应用，例如应变张量分解（对称部分）与旋转张量（反对称部分）。

分类

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