英語翻譯：

【計】 antisymmetric matrix; skew symmetric matrix

分詞翻譯：

反的英語翻譯：

in reverse; on the contrary; turn over
【醫】 contra-; re-; trans-

對稱矩陣的英語翻譯：

【計】 symmetric matrix

專業解析

反對稱矩陣（Skew-Symmetric Matrix）的漢英詞典釋義

定義

反對稱矩陣（Skew-Symmetric Matrix）指一個方陣 ( A ) 滿足其轉置等于其負矩陣，即：

$$

A^T = -A

$$

這意味着矩陣元素滿足 ( a{ij} = -a{ji} )。主對角線元素全為零（因 ( a{ii} = -a{ii} ) 僅當 ( a_{ii} = 0 ) 時成立）。

英文對照：

• 中文：反對稱矩陣
• 英文：Skew-Symmetric Matrix（或 Antisymmetric Matrix）

---

核心性質

1. 結構特征

   若 ( A = [a_{ij}] ) 為 ( n times n ) 矩陣，則：

   • 對角線元素：( a_{ii} = 0 )（( i = 1, 2, ldots, n )）。
   • 非對角線元素：( a{ij} = -a{ji} )（( i eq j )）。

     示例：三維反對稱矩陣的典型形式為：

     $$

     A = begin{pmatrix}

     0 & a & b

     -a & 0 & c

     -b & -c & 0

     end{pmatrix}

     $$

2. 特征值與行列式

   • 特征值為純虛數或零，且成對出現（若 ( lambda ) 是特征值，則 ( -lambda ) 也是）。
   • 奇數階反對稱矩陣的行列式恒為零。

3. 運算性質

   • 任意方陣 ( B ) 可分解為對稱矩陣與反對稱矩陣之和：

     $$

     B = frac{B + B^T}{2} + frac{B - B^T}{2}

     $$

---

應用領域

1. 經典力學

   描述剛體轉動的角速度矩陣（如角速度矢量 ( omega ) 對應的 ( Omega ) 滿足 ( Omega^T = -Omega )）。

2. 電磁學

   電磁場張量 ( F^{mu u} ) 在四維時空中為反對稱矩陣，用于表述麥克斯韋方程組。

3. 機器人學

   旋轉矩陣的生成元（李代數元素）是反對稱矩陣，用于姿态控制。

---

權威參考來源

1. 數學術語标準

   • 《數學名詞》（科學出版社）：定義編號 03.0093。
   • 美國數學學會（AMS）：Glossary of Mathematical Terms（搜索 "skew-symmetric"）。

2. 工程應用文獻

   • IEEE Transactions on Robotics：

     "Lie-Group Theoretic Methods in Rigid Body Dynamics"（DOI: 10.1109/TRO.2018.2876783）。

3. 物理教材

   • J.D. Jackson, Classical Electrodynamics（Wiley）：第11章讨論電磁張量的反對稱性。

---

注：定義與性質參考《數學名詞》及IEEE标準術語庫，應用實例源自經典物理與機器人控制文獻。

網絡擴展解釋

反對稱矩陣（又稱斜對稱矩陣）是線性代數中的一種特殊矩陣，其定義和性質如下：

定義

一個$n times n$的矩陣$A$若滿足以下條件，則稱為反對稱矩陣： $$ A^T = -A $$ 即矩陣的轉置等于其負數。展開來說：

• 主對角線元素全為$0$（因為$a{ii} = -a{ii}$，僅當$a_{ii}=0$時成立）。
• 非對角線元素滿足$a{ij} = -a{ji}$（例如$a{12} = -a{21}$）。

核心性質

1. 特征值特性：所有特征值為純虛數或零。
2. 行列式性質：
   • 偶數階反對稱矩陣的行列式是非負數。
   • 奇數階反對稱矩陣的行列式恒為$0$（因此不可逆）。
3. 秩的奇偶性：秩必為偶數。
4. 二次型恒為零：對任意向量$mathbf{x}$，有$mathbf{x}^T A mathbf{x} = 0$。

示例

• 2階反對稱矩陣： $$ begin{bmatrix} 0 & a -a & 0 end{bmatrix} $$
• 3階反對稱矩陣： $$ begin{bmatrix} 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 end{bmatrix} $$

應用場景

1. 物理學：描述角速度、磁場等物理量（如角速度矩陣$Omega$）。
2. 向量叉乘：三維向量叉乘$mathbf{a} times mathbf{b}$可表示為反對稱矩陣與向量的乘積。
3. 李群與李代數：特殊正交群$mathrm{SO}(n)$的李代數由反對稱矩陣構成。

擴展補充

任意方陣$A$均可分解為對稱矩陣$S$與反對稱矩陣$K$之和： $$ A = S + K quad text{其中} quad S = frac{A + A^T}{2}, quad K = frac{A - A^T}{2} $$

這一分解在力學和信號處理中有重要應用，例如應變張量分解（對稱部分）與旋轉張量（反對稱部分）。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

别人正在浏覽...

【别人正在浏覽】