
【计】 Buffon's needle problem
flimsy; slight; tenuity; thin
【医】 lepto-; tenuity; thinness
fragrance; sweet smell
cast; deliver; fling; pitch; send; throw
【医】 administer
acupuncture; injection; needle; pin; pricker; stitch
【医】 acu-; needle; Pin; spicula; spicule; spiculum
issue; problem; question; trouble
【计】 sieve problem
【经】 subject
薄芬投针问题(Buffon's Needle Problem)是概率论和几何学中一个著名的经典问题,由法国科学家乔治-路易·勒克莱尔,布丰伯爵(Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon)于18世纪提出。该问题探讨了将一根针随机投掷到画有等距平行线的平面上时,针与其中一条线相交的概率,并意外地建立了该概率与圆周率π之间的数学联系。
基本设定:
假设平面上画有无数条间距为 (d) 的平行线。将一根长度为 (l)(要求 (l leq d))的针随机投掷到平面上,求针与任一平行线相交的概率 (P)。
概率公式:
通过几何概率分析,该概率可表示为:
$$ P = frac{2l}{pi d} $$
若针的长度 (l) 等于线间距 (d),则公式简化为 (P = frac{2}{pi})。这意味着通过大量重复投针实验并统计相交频率,可估算π的近似值。
布丰于1777年首次提出并解决此问题,开创了几何概率的先河。该实验将随机事件与确定性常数π关联,为蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)提供了早期范例。19世纪数学家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)进一步推广了该问题,深化了其在概率论中的地位。
计算机时代可通过程序模拟投针过程,快速验证π的近似值,展示随机抽样在数值计算中的应用。
作为概率论与几何学的交叉案例,该问题被广泛用于数学、统计学及物理学的教学,帮助学生直观理解概率模型与极限理论。
术语说明:
"薄芬投针问题"可能是对"布丰投针问题"(Buffon's needle problem)的误写。这是18世纪法国数学家乔治-路易·勒克莱尔·德·布丰提出的经典几何概率问题,用于通过实验估算圆周率π的值。以下是核心解释:
将一根长度为( l )的针,随机投掷到画有等距平行线的平面上,线间距为( d )(通常假设( d geq l ))。求针与任意一条平行线相交的概率。
概率公式
当针与线的夹角为( theta )时,相交的条件是针在垂直方向上的投影超过线间距的一半。经过积分计算,概率为:
$$
P = frac{2l}{pi d} quad (text{当} , d geq l)
$$
估算圆周率
通过大量实验记录相交次数( N )与总投掷次数( T ),可得:
$$
pi approx frac{2l cdot T}{d cdot N}
$$
概率与几何的结合
首次将随机实验与确定性数学常数(π)联系起来,开创了几何概率领域。
蒙特卡罗方法雏形
为后来通过随机抽样解决复杂计算问题提供了早期范例,例如计算机模拟中广泛应用的蒙特卡罗法。
实际实验案例
1901年,意大利数学家马里奥·拉扎里尼进行了3408次投针实验,得到π≈3.1415929,误差仅百万分之一。
布丰投针问题通过简单的物理实验,揭示了概率与几何的深刻联系,成为数学史上的标志性案例。其核心思想至今仍在统计模拟、算法设计等领域发挥作用。
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