递归证明英文解释翻译、递归证明的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 proof by recursion

分词翻译：

递归的英语翻译：

【计】 recursion; recurssion

证明的英语翻译：

prove; certify; argue; demonstrate; justify; manifest; testify; vouch
【计】 proofness; proving
【化】 proofing
【医】 certificate; certify; proof
【经】 attest; attestation; authenticated; authentication; certification
certify; testimony

专业解析

递归证明（Recursive Proof）是数学与计算机科学中基于递归结构的逻辑论证方法。该术语由"递归"（recursive）和"证明"（proof）构成，其中：

递归指通过重复应用规则定义对象或过程
证明指通过逻辑推理验证命题真实性

在数学基础理论中，递归证明常采用数学归纳法，其典型结构包含：

基例验证：证明命题在初始情况成立（如n=1）
归纳假设：假定命题对某个n=k成立
归纳步骤：证明n=k+1时命题依然成立

计算机科学领域应用案例包括：

算法正确性验证（如递归排序算法）
程序终止性证明（通过递减基准值）
数据结构性质推导（树/图结构的遍历证明）

权威学术文献中，递归证明与哥德尔不完备定理存在深层联系。根据《斯坦福哲学百科全书》数理逻辑条目，递归可定义函数在形式系统内具有特殊证明地位。当前形式化验证工具如Coq和Isabelle均已实现自动化递归证明机制。

网络扩展解释

递归证明是一种数学或逻辑学中常用的证明方法，其核心思想是通过“将复杂问题分解为相似但更简单的子问题”来完成论证。它通常包含两个关键步骤：

1. 基例验证（Base Case）验证命题在初始条件下成立（如n=1或最小规模的情况）。例如证明所有自然数具有某性质时，需先验证该性质在n=1时成立。

2. 归纳步骤（Inductive Step）假设命题在规模为k时成立（归纳假设），进而证明在规模为k+1时也成立。这种“假设前项成立以推导后项”的过程体现了递归特性，如数学归纳法。

特殊形式与扩展

结构归纳法：用于递归定义的数据结构（如树、链表），通过验证子结构满足性质来证明整体结构性质
多基例递归：存在多个初始条件需要验证（如斐波那契数列需验证前两项）
强归纳法：归纳假设不仅针对k，还包含所有小于k的情况

注意事项

必须明确递归终止条件，否则会导致无限递归
需确保分解后的子问题与原问题结构完全一致
在计算机科学中常用于递归算法正确性证明（如分治算法、动态规划）

示例：证明$1+2+...+n = frac{n(n+1)}{2}$
基例：n=1时左边=1，右边=$frac{1×2}{2}=1$
假设n=k时成立，则n=k+1时左边=原式+(k+1)=$frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=frac{(k+1)(k+2)}{2}$，即符合右边形式。通过这种递归分解完成证明。