递归集英文解释翻译、递归集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 recursive set

分词翻译：

递归的英语翻译：

【计】 recursion; recurssion

集的英语翻译：

collect; collection; gather; volume
【电】 set

专业解析

递归集（Recursive Set）是数理逻辑和可计算性理论中的核心概念，指在形式系统中能够被算法完全判定的集合。以下是详细解释：

一、定义与数学描述

递归集指存在一个递归函数（即可计算函数）能判定任意元素是否属于该集合。形式化定义为：

集合 ( A subseteq mathbb{N} )（自然数集）是递归集，当且仅当存在递归函数 ( f ) 满足： [ f(x) = begin{cases} 1 & text{若 } x in A 0 & text{若 } x otin A end{cases} ] 这表明存在算法能在有限步内确定元素 ( x ) 的归属问题。

二、核心特征

可判定性
递归集等价于可判定集（Decidable Set），其成员资格问题可通过图灵机在有限时间内解决。

递归可枚举性
递归集必然是递归可枚举集（Recursively Enumerable Set），但反之不成立。递归可枚举集仅要求存在算法枚举其元素，但不保证判定非成员。

补集封闭性
若 ( A ) 是递归集，则其补集 ( mathbb{N} setminus A ) 也是递归集。

三、与递归可枚举集的区别

递归集：存在算法判定任意元素是否属于集合（成员与非成员均可判定）。
递归可枚举集：仅存在算法枚举所有属于集合的元素，但可能无法确定非成员（例如停机问题）。

四、应用与意义

递归集是计算复杂性理论的基石，用于定义复杂度类（如P、NP）。例如：

多项式时间可判定的问题构成类P，是递归集的子集。
在形式语言中，递归集对应可判定语言（Decidable Language）。

权威参考来源：

《可计算性与数理逻辑》（Computability and Logic）
国家标准《GB/T 5271.28-2001 信息技术词汇第28部分：人工智能基本概念与专家系统》
中科院数学研究所《可计算性理论导论》公开讲义

网络扩展解释

递归集（Recursive Set）是计算理论中的一个核心概念，指存在一种算法能够在有限时间内判定任意给定元素是否属于该集合的集合，也称为可判定集合。以下是关键点解析：

1.核心定义

判定性：存在一个算法（图灵机），对于任意输入元素，总能停机并输出“是”或“否”，明确判断该元素是否属于集合。
数学表述：集合 ( S subseteq mathbb{N} ) 是递归集，当且仅当其特征函数 ( f_S(n) ) 是可计算的，即： $$ f_S(n) = begin{cases} 1 & text{若 } n in S 0 & text{若 } n otin S end{cases} $$

2.与递归可枚举集的区分

递归可枚举集：存在算法可枚举所有成员（但无法保证判定“不属于”的情况），例如“所有可证明的数学命题”。
递归集：不仅可枚举成员，还能判定非成员，因此递归集一定是递归可枚举集，但反之不成立。

3.典型例子

偶数集合：可用算法 ( n mod 2 = 0 ) 判定。
质数集合：存在多项式时间算法（如AKS算法）判定。
非递归集示例：停机问题的解集合（无法通过算法完全判定）。

4.应用与意义

计算复杂性：递归集对应“可判定问题”，是计算机能解决的理论基础。
形式系统：在数理逻辑中，一个系统的定理集合若为递归集，则该系统是“可判定的”（如命题逻辑）。

5.扩展概念

相对递归集：若某集合在另一个递归集的“帮助”下可判定，则称其为该递归集的相对递归集。
递归语言：形式语言理论中，递归集对应“递归语言”，即能被确定性图灵机判定的语言。

总结来说，递归集是计算理论中“可计算性”的严格数学表达，代表了一类可通过算法完全解决的问题集合。