单模矩阵英文解释翻译、单模矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 unimodular matrix

分词翻译：

单的英语翻译：

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

模的英语翻译：

model; module; mould; pattern
【计】 M; MOD; modulo
【化】 mould
【医】 ***; mol; mole

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

单模矩阵（Unimodular Matrix）是线性代数与离散数学中的重要概念，其核心特征为行列式的绝对值为1，即满足$det(A) = pm 1$。这一性质使其在整数环上的运算中具备特殊意义，尤其在组合优化和编码理论领域应用广泛。

定义与分类

单模矩阵通常指整数环上的方阵，其行列式为±1，属于一般线性群$text{GL}(n, mathbb{Z})$的子集。若进一步分类，可分为：

全单模矩阵（Totally Unimodular Matrix）：所有子方阵的行列式均为0、1或-1，常见于网络流问题的最优解分析。
行单模矩阵（Row-Unimodular Matrix）：在整数规划中，保证线性规划松弛解的整数性。

数学性质

可逆性：单模矩阵的逆矩阵仍为整数矩阵，满足$A^{-1} in mathbb{Z}^{n times n}$。
群结构：所有单模矩阵构成$text{SL}(n, mathbb{Z})$群（特殊线性群）的扩展。

应用场景

整数规划：单模约束条件可简化计算，确保松弛解直接为整数。
编码理论：生成纠错码时，单模变换保持码字的最小距离不变。
组合几何：用于描述晶格（Lattice）的基变换，例如在密码学的格基约简算法中。

权威参考来源

数学定义与性质：详见Wolfram MathWorld的《Unimodular Matrix》词条。
优化理论应用：参考Springer出版的《Integer Programming》第4章。
组合数学关联：MIT开放课程《Linear Algebra and Optimization》第15讲。

网络扩展解释

单模矩阵是线性代数中的特殊整数矩阵，具有以下核心特征和应用：

1.基本定义

单模矩阵（Unimodular Matrix）指由整数构成的方阵，其行列式的绝对值为1，即$det(A) = pm 1$。例如，单位矩阵$begin{pmatrix}1 & 00 & 1end{pmatrix}$是单模矩阵。

2.关键性质

可逆性：单模矩阵的逆矩阵仍为整数矩阵，且逆矩阵的行列式也为$pm 1$。
分解特性：可表示为初等矩阵（如行交换、行加减）的乘积。
等价变换：若两个矩阵通过单模矩阵的乘法变换等价（$A=UBV$，其中$U,V$为单模矩阵），则称它们为等价矩阵。

3.与全单模矩阵的区别

单模矩阵：特指行列式为$pm 1$的方阵，强调自身可逆性。
全单模矩阵：任意子方阵的行列式均为0、1或-1的非方阵，常见于整数规划问题，确保线性规划解为整数。

4.应用领域

整数规划：若约束矩阵为全单模矩阵，线性规划的最优解自动满足整数性。
组合优化：在网络流、二部图匹配等问题中，关联矩阵常为全单模矩阵。

示例

矩阵$begin{pmatrix}1 & 23 & 5end{pmatrix}$的行列式为$-1$，是单模矩阵；而全单模矩阵可能形如$begin{pmatrix}1 & -11 & 1end{pmatrix}$（每列非零元素和为0）。

如需进一步了解全单模矩阵的判定条件或应用案例，和中的详细分析。