超越函數英文解釋翻譯、超越函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 transcendental function

分詞翻譯：

超越的英語翻譯：

exceed; surmount; surpass; outdo; overpass; overstep; transcend
【法】 transgress

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

超越函數（Transcendental Function）的漢英詞典釋義與數學本質解析

在數學領域，超越函數（Transcendental Function）指無法通過有限次多項式方程（即代數方程）定義的函數。其英文術語由“transcendental”（超越的）與“function”（函數）構成，強調這類函數“超越”了代數運算的範疇。

核心定義與特征

非代數性
超越函數不是代數函數，即不存在滿足以下形式的非零多項式 ( P )：

$$ P(x, y) = 0 $$

其中 ( y ) 是函數值。例如，指數函數 ( e^x ) 和正弦函數 ( sin x ) 均無法表示為 ( x ) 的多項式組合，故屬于超越函數。
與初等函數的關系
初等函數包含代數函數（如 ( f(x) = sqrt{x} )）和超越函數（如 ( ln x, cos x )）。超越函數是初等函數的子集，但需通過無窮級數、積分等非代數運算定義。

典型超越函數示例

指數與對數函數： ( e^x )、( a^x )（( a > 0 )）、( ln x )、( log_b x )；
三角函數與反三角函數： ( sin x )、( cos x )、( arcsin x )、( arccos x )；
特殊函數：伽馬函數 ( Gamma(x) )、黎曼ζ函數 ( zeta(s) ) 等。

權威參考來源

《數學分析導論》（Introduction to Mathematical Analysis）
明确區分代數函數與超越函數，強調後者需借助極限或超越方程定義（來源：Springer數學教材系列）。

《普林斯頓數學百科全書》（The Princeton Companion to Mathematics）
指出超越函數在微分方程、數論中的核心地位，如指數函數是微分方程 ( y' = y ) 的解（來源：普林斯頓大學出版社）。

歐拉公式（Euler's Formula）
經典超越性體現： ( e^{itheta} = cos theta + i sin theta ) 關聯指數與三角函數（來源：《數學物理方法》教科書）。

術語辨析

漢英對照：
- 超越函數 → Transcendental Function
- 代數函數 → Algebraic Function
- 初等函數 → Elementary Function
詞源：“Transcendental”源于拉丁語 transcendere（意為“越過”），反映其超越代數表達的特性。

應用意義

超越函數在物理學（振動方程 ( y'' + ky = 0 ) 的解為 ( sin kx )）、工程學（電路暫态分析涉及 ( e^{-t/tau} )）及密碼學（離散對數問題）中不可或缺，凸顯其跨學科價值。

網絡擴展解釋

超越函數是數學中一類無法通過有限次代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）表示的函數。其核心特征是變量間的關系超越了多項式方程的約束，即不滿足以變量自身多項式為系數的方程。以下是詳細解釋：

1.定義與特征

代數獨立性：超越函數與代數函數相對，不能表示為自變量與常數之間的有限次代數運算組合。
典型例子：如指數函數（$e^x$）、對數函數（$ln x$）、三角函數（$sin x$、$cos x$）及反三角函數（$arctan x$）等。

2.與代數函數的區别

代數函數：可通過多項式方程定義，例如多項式函數（$y=x$）和平方根函數（$y=sqrt{x}$）。
超越函數：如 $y=e^x$，無法通過代數方程描述，需借助微積分或級數等更複雜的工具研究。

3.常見應用領域

數學分析：超越函數在積分（如對數函數由積分$int frac{1}{x} dx$定義）和微分方程中具有重要作用。
物理與工程：三角函數用于描述波動和振動，指數函數用于建模增長與衰減過程。
數論與密碼學：超越數的研究（如$pi$和$e$）與超越函數密切相關。

4.研究意義

超越函數的不可代數表達性使其成為解決複雜數學問題的關鍵工具，例如非線性方程和混沌系統的分析。

如需進一步了解具體函數性質或解題技巧，可參考數學分析教材或專業文獻。