二次形式英文解释翻译、二次形式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadratic form

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

形式的英语翻译：

form; format; modality; shape
【法】 form

专业解析

在数学领域，"二次形式"（Quadratic Form）指由变量构成的二次齐次多项式。其标准定义如下：

设 $mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, xn)^T$ 为 $n$ 维实（或复）向量，$A$ 是 $n times n$ 实对称（或复埃尔米特）矩阵，则二次形式可表示为： $$ Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x} = sum{i=1}^{n} sum{j=1}^{n} a{ij} x_i xj $$ 其中 $a{ij}$ 是矩阵 $A$ 的元素，且满足 $a{ij} = a{ji}$（对称性）。

核心特征与应用场景：

齐次性与次数
每一项均为变量的二次单项式（如 $x_ix_j$），整体满足 $Q(cmathbf{x}) = c Q(mathbf{x})$ 的齐次性。该性质是微分几何中度量张量的理论基础。
矩阵表示与分类
通过实对称矩阵表示的二次形式可分类为：
- 正定：对所有非零 $mathbf{x}$ 满足 $Q(mathbf{x}) > 0$（如惯性矩阵描述刚体旋转动能）
- 半正定/负定：在优化问题中判定局部极小/极大值
- 不定：见于双曲几何的度规结构。
多元微积分与优化
黑塞矩阵（Hessian Matrix）构成的二次形式用于分析多元函数临界点性质，是牛顿法数值优化的核心工具。
数论与几何应用
整系数二次形式研究涉及丢番图方程（如 $x + y = z$），而黎曼流形的曲率张量本质是切空间上的二次形式族。

权威参考来源：

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. (定义与矩阵理论)

Kobayashi, S., & Nomizu, K. (1963). Foundations of Differential Geometry. Wiley. (微分几何应用)

Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer. (优化算法关联)

网络扩展解释

二次形式（Quadratic Form）是数学中一个重要的概念，通常指由变量的二次项组成的多项式，常见于线性代数、几何和优化等领域。以下是详细解释：

1.基本定义

二次形式是一个二次齐次多项式，即所有项的次数均为2。对于( n )个变量( x_1, x_2, dots, x_n )，其一般形式为： $$ f(x_1, x_2, dots, xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij}x_i xj quad (a{ij} = a{ji}), $$ 其中系数( a{ij} )构成一个对称矩阵( A )，因此二次形式也可表示为： $$ f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}, $$ 这里( mathbf{x} )是列向量，( mathbf{x}^T )是其转置。

示例：二元二次形式( f(x, y) = 2x + 4xy + 3y )对应的矩阵为： $$ A = begin{pmatrix} 2 & 22 & 3 end{pmatrix}. $$

2.分类与性质

根据矩阵( A )的特征值，二次形式可分为：

正定：对所有非零向量( mathbf{x} )，( mathbf{x}^T A mathbf{x} > 0 )。几何上对应开口向上的抛物面（如椭圆）。
负定：对所有非零向量( mathbf{x} )，( mathbf{x}^T A mathbf{x} < 0 )。
不定：既有正值又有负值（如双曲面）。

3.几何意义

二次形式可描述二次曲线/曲面的方程：

椭圆：( x/a + y/b = 1 )（正定）。
双曲线：( x/a - y/b = 1 )（不定）。

4.标准化

通过坐标变换（如正交变换），可将二次形式化为标准形（仅含平方项）： $$ f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + dots + lambda_n y_n, $$ 其中( lambda_i )是矩阵( A )的特征值。

5.应用领域

优化：二次规划的目标函数（如最小二乘法）。
物理：动能公式( T = frac{1}{2}mathbf{v}^T M mathbf{v} )（( M )为质量矩阵）。
统计学：协方差矩阵与马氏距离的计算。

通过矩阵分析和特征值分解，二次形式为研究高维空间中的几何结构、优化问题等提供了核心工具。如需更深入的技术细节，建议参考线性代数教材或二次型相关专著。