二次形式英文解釋翻譯、二次形式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic form

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

形式的英語翻譯：

form; format; modality; shape
【法】 form

專業解析

在數學領域，"二次形式"（Quadratic Form）指由變量構成的二次齊次多項式。其标準定義如下：

設 $mathbf{x} = (x_1, x_2, ldots, xn)^T$ 為 $n$ 維實（或複）向量，$A$ 是 $n times n$ 實對稱（或複埃爾米特）矩陣，則二次形式可表示為： $$ Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x} = sum{i=1}^{n} sum{j=1}^{n} a{ij} x_i xj $$ 其中 $a{ij}$ 是矩陣 $A$ 的元素，且滿足 $a{ij} = a{ji}$（對稱性）。

核心特征與應用場景：

齊次性與次數
每一項均為變量的二次單項式（如 $x_ix_j$），整體滿足 $Q(cmathbf{x}) = c Q(mathbf{x})$ 的齊次性。該性質是微分幾何中度量張量的理論基礎。
矩陣表示與分類
通過實對稱矩陣表示的二次形式可分類為：
- 正定：對所有非零 $mathbf{x}$ 滿足 $Q(mathbf{x}) > 0$（如慣性矩陣描述剛體旋轉動能）
- 半正定/負定：在優化問題中判定局部極小/極大值
- 不定：見于雙曲幾何的度規結構。
多元微積分與優化
黑塞矩陣（Hessian Matrix）構成的二次形式用于分析多元函數臨界點性質，是牛頓法數值優化的核心工具。
數論與幾何應用
整系數二次形式研究涉及丢番圖方程（如 $x + y = z$），而黎曼流形的曲率張量本質是切空間上的二次形式族。

權威參考來源：

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. (定義與矩陣理論)

Kobayashi, S., & Nomizu, K. (1963). Foundations of Differential Geometry. Wiley. (微分幾何應用)

Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer. (優化算法關聯)

網絡擴展解釋

二次形式（Quadratic Form）是數學中一個重要的概念，通常指由變量的二次項組成的多項式，常見于線性代數、幾何和優化等領域。以下是詳細解釋：

1.基本定義

二次形式是一個二次齊次多項式，即所有項的次數均為2。對于( n )個變量( x_1, x_2, dots, x_n )，其一般形式為： $$ f(x_1, x_2, dots, xn) = sum{i=1}^n sum{j=1}^n a{ij}x_i xj quad (a{ij} = a{ji}), $$ 其中系數( a{ij} )構成一個對稱矩陣( A )，因此二次形式也可表示為： $$ f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}, $$ 這裡( mathbf{x} )是列向量，( mathbf{x}^T )是其轉置。

示例：二元二次形式( f(x, y) = 2x + 4xy + 3y )對應的矩陣為： $$ A = begin{pmatrix} 2 & 22 & 3 end{pmatrix}. $$

2.分類與性質

根據矩陣( A )的特征值，二次形式可分為：

正定：對所有非零向量( mathbf{x} )，( mathbf{x}^T A mathbf{x} > 0 )。幾何上對應開口向上的抛物面（如橢圓）。
負定：對所有非零向量( mathbf{x} )，( mathbf{x}^T A mathbf{x} < 0 )。
不定：既有正值又有負值（如雙曲面）。

3.幾何意義

二次形式可描述二次曲線/曲面的方程：

橢圓：( x/a + y/b = 1 )（正定）。
雙曲線：( x/a - y/b = 1 )（不定）。

4.标準化

通過坐标變換（如正交變換），可将二次形式化為标準形（僅含平方項）： $$ f = lambda_1 y_1 + lambda_2 y_2 + dots + lambda_n y_n, $$ 其中( lambda_i )是矩陣( A )的特征值。

5.應用領域

優化：二次規劃的目标函數（如最小二乘法）。
物理：動能公式( T = frac{1}{2}mathbf{v}^T M mathbf{v} )（( M )為質量矩陣）。
統計學：協方差矩陣與馬氏距離的計算。

通過矩陣分析和特征值分解，二次形式為研究高維空間中的幾何結構、優化問題等提供了核心工具。如需更深入的技術細節，建議參考線性代數教材或二次型相關專著。