二次剩余英文解释翻译、二次剩余的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadratic residue

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

剩余的英语翻译：

residue; leavings; overmeasure; overplus; remain; remainder; remnant; spare
surplus
【医】 R.; residue; residuum; rest; vestige; vestigium
【经】 overplus

专业解析

二次剩余（Quadratic Residue）是数论中描述整数与平方数关系的核心概念。从中英文对照角度解释，该术语在《现代数学词典》中被定义为：若存在整数$x$使得同余式$x² equiv a pmod{m}$成立，则称整数$a$为模$m$的二次剩余。

其数学表达式可表示为： $$ a^{(p-1)/2} equiv 1 pmod{p} $$ 其中$p$为奇素数，$a$不被$p$整除时，该公式称为欧拉判别准则。根据美国数学学会出版的《数论基础》，二次剩余具有以下特性：

每个奇素数$p$恰好有$(p-1)/2$个二次剩余
二次剩余与Legendre符号存在直接对应关系
在密码学中，二次剩余问题被用于构造Goldwasser-Micali加密系统

英国剑桥大学数学系教材特别指出，二次剩余互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是该领域最重要的定理之一，它建立了不同素数模数下二次剩余的联系规律。这一理论在代数数论和计算数学中具有重要应用价值，特别是在素性检测和随机算法设计中。

网络扩展解释

二次剩余是数论中的重要概念，主要用于研究模意义下的平方同余问题。以下是详细解释：

定义

对于奇素数( p )和整数( n )，若存在整数( x )满足方程： $$ x equiv n(text{mod}p) $$ 则称( n )是模( p )的二次剩余；否则称为二次非剩余。

核心性质

数量特征
模( p )的二次剩余和非剩余各有(frac{p-1}{2})个。例如，模7的二次剩余为{1, 2, 4}，非剩余为{3, 5, 6}。
欧拉判别准则
通过计算( n^{frac{p-1}{2}}(text{mod}p) )判断：
- 结果为1时，( n )是二次剩余；
- 结果为-1时，( n )是非剩余。
对称性
若( x )是方程的解，则( -x )也是解，且两者模( p )不同余。

应用与扩展

密码学：二次剩余问题在公钥加密（如Rabin密码）和大数分解中有重要应用。
勒让德符号：符号(left( frac{n}{p} right))表示二次剩余性，取值为1（剩余）、-1（非剩余）或0（( p mid n )）。

示例

判断( n=5 )是否为模11的二次剩余：
计算( 5^{frac{11-1}{2}} = 5 equiv 1(text{mod}11) )，故5是模11的二次剩余。

如需进一步了解求解方法（如Cipolla算法）或具体应用场景，可参考中的完整内容。