二次剩餘英文解釋翻譯、二次剩餘的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic residue

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

剩餘的英語翻譯：

residue; leavings; overmeasure; overplus; remain; remainder; remnant; spare
surplus
【醫】 R.; residue; residuum; rest; vestige; vestigium
【經】 overplus

專業解析

二次剩餘（Quadratic Residue）是數論中描述整數與平方數關系的核心概念。從中英文對照角度解釋，該術語在《現代數學詞典》中被定義為：若存在整數$x$使得同餘式$x² equiv a pmod{m}$成立，則稱整數$a$為模$m$的二次剩餘。

其數學表達式可表示為： $$ a^{(p-1)/2} equiv 1 pmod{p} $$ 其中$p$為奇素數，$a$不被$p$整除時，該公式稱為歐拉判别準則。根據美國數學學會出版的《數論基礎》，二次剩餘具有以下特性：

每個奇素數$p$恰好有$(p-1)/2$個二次剩餘
二次剩餘與Legendre符號存在直接對應關系
在密碼學中，二次剩餘問題被用于構造Goldwasser-Micali加密系統

英國劍橋大學數學系教材特别指出，二次剩餘互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是該領域最重要的定理之一，它建立了不同素數模數下二次剩餘的聯繫規律。這一理論在代數數論和計算數學中具有重要應用價值，特别是在素性檢測和隨機算法設計中。

網絡擴展解釋

二次剩餘是數論中的重要概念，主要用于研究模意義下的平方同餘問題。以下是詳細解釋：

定義

對于奇素數( p )和整數( n )，若存在整數( x )滿足方程： $$ x equiv n(text{mod}p) $$ 則稱( n )是模( p )的二次剩餘；否則稱為二次非剩餘。

核心性質

數量特征
模( p )的二次剩餘和非剩餘各有(frac{p-1}{2})個。例如，模7的二次剩餘為{1, 2, 4}，非剩餘為{3, 5, 6}。
歐拉判别準則
通過計算( n^{frac{p-1}{2}}(text{mod}p) )判斷：
- 結果為1時，( n )是二次剩餘；
- 結果為-1時，( n )是非剩餘。
對稱性
若( x )是方程的解，則( -x )也是解，且兩者模( p )不同餘。

應用與擴展

密碼學：二次剩餘問題在公鑰加密（如Rabin密碼）和大數分解中有重要應用。
勒讓德符號：符號(left( frac{n}{p} right))表示二次剩餘性，取值為1（剩餘）、-1（非剩餘）或0（( p mid n )）。

示例

判斷( n=5 )是否為模11的二次剩餘：
計算( 5^{frac{11-1}{2}} = 5 equiv 1(text{mod}11) )，故5是模11的二次剩餘。

如需進一步了解求解方法（如Cipolla算法）或具體應用場景，可參考中的完整内容。