欧拉迹英文解释翻译、欧拉迹的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Eulerian trace

分词翻译：

欧拉的英语翻译：

【计】 EULER

迹的英语翻译：

mark; remains; ruins; trace; vestige
【化】 trace

专业解析

欧拉迹（Eulerian Trail）是图论中的核心概念，指在连通图中经过每条边恰好一次的连续路径。若该路径首尾顶点重合，则称为欧拉回路（Eulerian Circuit）。其英文术语源自瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1736年对柯尼斯堡七桥问题的研究。

定义与数学特征

1. 基本定义：欧拉迹是图中不重复经过任何边的开放路径（起点与终点不同），而欧拉回路是闭合路径。这一概念适用于无向图和有向图。
2. 存在条件：根据欧拉定理，一个无向图存在欧拉回路的充要条件是所有顶点的度数均为偶数；存在欧拉迹的条件则是恰有两个顶点的度数为奇数（作为路径的起点和终点）。

历史背景与应用领域

欧拉在1736年的论文《Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis》中首次提出该理论，奠定了图论的基础。现代应用中，欧拉迹被用于：

• 电路设计：寻找电路板布线的最优路径
• DNA测序：解决基因片段的重叠排列问题
• 交通规划：优化垃圾车路线以减少重复行驶

参考来源

1. Rosen, K. H. 《Discrete Mathematics and Its Applications》（第8版），McGraw-Hill Education，2019
2. Euler, L. "Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae" 8, 128-140 (1736)
3. West, D. B. 《Introduction to Graph Theory》（第2版），Prentice Hall，2000

网络扩展解释

欧拉迹是图论中的重要概念，指经过图中每条边恰好一次的路径或回路。其定义及相关性质可综合如下：

一、基本定义

1. 欧拉通路（欧拉迹）
   指经过图中每条边恰好一次且经过所有顶点的非闭合路径。要求路径的起点和终点不同（无向图中对应两个奇度顶点）。

2. 欧拉回路（欧拉闭迹）
   指经过每条边恰好一次且回到起点的闭合路径，即起点与终点相同。此时整个图称为欧拉图。

二、存在条件

1. 无向图

   • 欧拉通路：图连通，且奇度顶点数为0或2（0时为回路，2时为通路）。
   • 欧拉回路：图连通，且所有顶点度数均为偶数。

2. 有向图

   • 欧拉回路：所有顶点的入度等于出度。
   • 欧拉通路：存在一个顶点出度比入度大1（起点），一个顶点入度比出度大1（终点），其余顶点入出度相等。

三、算法与应用

1. Hierholzer算法
   用于寻找无向图的欧拉回路，时间复杂度为线性（$O(|E|)$）。核心思想是从任意起点出发，通过未访问边深度优先遍历，并回溯记录路径。

2. 应用场景
   包括电路板布线（确保每条线路仅走一次）、网络优化（路径规划）等。

四、示例说明

例如，图$G$为连通无向图，若其顶点度数均为偶数，则存在欧拉回路（如五角星形图）。若仅有两个顶点度数为奇数，则存在欧拉通路（如“日”字形图）。

更详细算法实现或定理证明可参考等来源。

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