积分检验法英文解释翻译、积分检验法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 integral test

分词翻译：

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

检验的英语翻译：

check up; examine; inspect; proof; prove
【计】 CH; checkout; V; verify; verify check; verifying
【化】 checking; examine
【医】 analysis; coroner's inquest; docimasia
【经】 inspection; monitoring; proof; test; verification; verify

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

积分检验法（Integral Test）的汉英双解与数学原理详解

一、定义与核心思想

积分检验法（Integral Test）是数学分析中判定无穷级数收敛性的重要方法。其核心思想是将级数求和转化为函数积分问题：

若函数 ( f(x) ) 在区间 ([n0, +infty)) 上连续、非负且单调递减，则级数 (sum{n=n0}^{infty} f(n)) 与反常积分 (int{n_0}^{infty} f(x) , dx)同敛散（即两者同时收敛或同时发散）。

英文术语对照：

积分检验法 → Integral Test
收敛性 → Convergence
反常积分 → Improper Integral

二、原理与适用条件

函数要求：
- ( f(x) ) 需满足( x geq n_0 ) 时连续、非负且单调递减（参考《数学分析教程》。
- 典型应用函数：( f(x) = frac{1}{x^p} )（( p > 0 ) 时需判断 ( p )-级数收敛性）。
判定步骤：
- Step 1：验证 ( f(x) ) 满足上述条件；
- Step 2：计算反常积分 (int_{n_0}^{infty} f(x) , dx)；
- Step 3：
  - 若积分收敛，则级数 (sum f(n))收敛；
  - 若积分发散，则级数 (sum f(n))发散。
几何直观：
级数部分和可视为矩形面积之和，积分代表曲线下面积。因函数递减，矩形面积介于积分区间的前移/后移图形之间（如图示），故敛散性一致。

三、典型应用示例

例1：( p )-级数的收敛性

判定级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p})（( p > 0 )）的敛散性：

取 ( f(x) = x^{-p} )，其在 ([1, +infty)) 上满足检验条件；
计算积分：
$$ int_{1}^{infty} x^{-p} , dx = left{ begin{array}{ll} left[ frac{x^{1-p}}{1-p} right]_1^{infty} & (p eq 1)

left[ ln x right]_1^{infty} & (p = 1) end{array} right.

$$

结论：
- ( p > 1 ) 时积分收敛（极限存在），级数收敛；
- ( p leq 1 ) 时积分发散（极限为 ( +infty ))，级数发散。

例2：判定 (sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n})

取 ( f(x) = frac{1}{x ln x} )，在 ([2, +infty)) 上递减且非负；
积分： (int_2^{infty} frac{dx}{x ln x} = left[ ln(ln x) right]_2^{infty} = +infty)（发散）；
故原级数发散。

四、注意事项

边界调整：若 ( f(x) ) 从 ( n_0 = k ) 开始递减，需调整积分下限（如例2从 ( n=2 ) 开始）。
失效场景：若 ( f(x) ) 非单调或非连续（如振荡函数），积分检验法不适用。
补充方法：常与比较判别法（Comparison Test）、极限判别法结合使用。

附录：中英文关键术语对照表

中文术语	英文术语
积分检验法	Integral Test
收敛性	Convergence
发散性	Divergence
反常积分	Improper Integral
( p )-级数	( p )-series
单调递减	Monotonically Decreasing

参考资料：

华东师范大学数学系. 《数学分析（第四版）》. 高等教育出版社, 2010.（第11章级数理论）

Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning, 8th ed., Section 11.3.

Apostol, T. M. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 2nd ed., Chapter 8.

Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 3rd ed., Theorem 3.28.

注：文献为经典教材，可通过高校图书馆或学术数据库（如JSTOR、SpringerLink）获取全文；为国际通用微积分教材，链接示例：https://www.cengage.com/c/calculus-8e-stewart（实际引用需确认最新版）。

网络扩展解释

根据您的查询，“积分检验法”可能存在两种不同领域的解释，需要结合上下文区分：

一、数学分析领域（主要解释）积分检验法（Integral Test）是判断无穷级数收敛性的重要方法，适用于满足以下条件的正项级数：

函数要求：设$f(x)$在区间$[1, +infty)$上连续、非负且单调递减；
级数与积分关系：级数$sum{n=1}^infty f(n)$与反常积分$int{1}^infty f(x)dx$具有相同的收敛性；
典型应用：常用来判断p级数$sum frac{1}{n^p}$的收敛性，当$p>1$时收敛。

二、教育史领域（次要解释）在中国教育史中，“积分法” 是宋元时期太学采用的学业考核制度： • 按月考试累计积分，年满8分可升级 • 优秀者可破格升级，未达标者留级 • 该制度影响了明清教育考核体系

注：如果您需要数学积分检验法的具体证明过程或教育史制度的演变细节，请补充说明需求方向。