積分檢驗法英文解釋翻譯、積分檢驗法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 integral test

分詞翻譯：

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

檢驗的英語翻譯：

check up; examine; inspect; proof; prove
【計】 CH; checkout; V; verify; verify check; verifying
【化】 checking; examine
【醫】 analysis; coroner's inquest; docimasia
【經】 inspection; monitoring; proof; test; verification; verify

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

積分檢驗法（Integral Test）的漢英雙解與數學原理詳解

一、定義與核心思想

積分檢驗法（Integral Test）是數學分析中判定無窮級數收斂性的重要方法。其核心思想是将級數求和轉化為函數積分問題：

若函數 ( f(x) ) 在區間 ([n0, +infty)) 上連續、非負且單調遞減，則級數 (sum{n=n0}^{infty} f(n)) 與反常積分 (int{n_0}^{infty} f(x) , dx)同斂散（即兩者同時收斂或同時發散）。

英文術語對照：

積分檢驗法 → Integral Test
收斂性 → Convergence
反常積分 → Improper Integral

二、原理與適用條件

函數要求：
- ( f(x) ) 需滿足( x geq n_0 ) 時連續、非負且單調遞減（參考《數學分析教程》。
- 典型應用函數：( f(x) = frac{1}{x^p} )（( p > 0 ) 時需判斷 ( p )-級數收斂性）。
判定步驟：
- Step 1：驗證 ( f(x) ) 滿足上述條件；
- Step 2：計算反常積分 (int_{n_0}^{infty} f(x) , dx)；
- Step 3：
  - 若積分收斂，則級數 (sum f(n))收斂；
  - 若積分發散，則級數 (sum f(n))發散。
幾何直觀：
級數部分和可視為矩形面積之和，積分代表曲線下面積。因函數遞減，矩形面積介于積分區間的前移/後移圖形之間（如圖示），故斂散性一緻。

三、典型應用示例

例1：( p )-級數的收斂性

判定級數 (sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p})（( p > 0 )）的斂散性：

取 ( f(x) = x^{-p} )，其在 ([1, +infty)) 上滿足檢驗條件；
計算積分：
$$ int_{1}^{infty} x^{-p} , dx = left{ begin{array}{ll} left[ frac{x^{1-p}}{1-p} right]_1^{infty} & (p eq 1)

left[ ln x right]_1^{infty} & (p = 1) end{array} right.

$$

結論：
- ( p > 1 ) 時積分收斂（極限存在），級數收斂；
- ( p leq 1 ) 時積分發散（極限為 ( +infty ))，級數發散。

例2：判定 (sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n})

取 ( f(x) = frac{1}{x ln x} )，在 ([2, +infty)) 上遞減且非負；
積分： (int_2^{infty} frac{dx}{x ln x} = left[ ln(ln x) right]_2^{infty} = +infty)（發散）；
故原級數發散。

四、注意事項

邊界調整：若 ( f(x) ) 從 ( n_0 = k ) 開始遞減，需調整積分下限（如例2從 ( n=2 ) 開始）。
失效場景：若 ( f(x) ) 非單調或非連續（如振蕩函數），積分檢驗法不適用。
補充方法：常與比較判别法（Comparison Test）、極限判别法結合使用。

附錄：中英文關鍵術語對照表

中文術語	英文術語
積分檢驗法	Integral Test
收斂性	Convergence
發散性	Divergence
反常積分	Improper Integral
( p )-級數	( p )-series
單調遞減	Monotonically Decreasing

參考資料：

華東師範大學數學系. 《數學分析（第四版）》. 高等教育出版社, 2010.（第11章級數理論）

Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning, 8th ed., Section 11.3.

Apostol, T. M. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 2nd ed., Chapter 8.

Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 3rd ed., Theorem 3.28.

注：文獻為經典教材，可通過高校圖書館或學術數據庫（如JSTOR、SpringerLink）獲取全文；為國際通用微積分教材，鍊接示例：https://www.cengage.com/c/calculus-8e-stewart（實際引用需确認最新版）。

網絡擴展解釋

根據您的查詢，“積分檢驗法”可能存在兩種不同領域的解釋，需要結合上下文區分：

一、數學分析領域（主要解釋）積分檢驗法（Integral Test）是判斷無窮級數收斂性的重要方法，適用于滿足以下條件的正項級數：

函數要求：設$f(x)$在區間$[1, +infty)$上連續、非負且單調遞減；
級數與積分關系：級數$sum{n=1}^infty f(n)$與反常積分$int{1}^infty f(x)dx$具有相同的收斂性；
典型應用：常用來判斷p級數$sum frac{1}{n^p}$的收斂性，當$p>1$時收斂。

二、教育史領域（次要解釋）在中國教育史中，“積分法” 是宋元時期太學采用的學業考核制度： • 按月考試累計積分，年滿8分可升級 • 優秀者可破格升級，未達标者留級 • 該制度影響了明清教育考核體系

注：如果您需要數學積分檢驗法的具體證明過程或教育史制度的演變細節，請補充說明需求方向。