回归矩阵英文解释翻译、回归矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 regression matrix

【计】 regression
【化】 regression
【医】 regression; return

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

在统计学和机器学习领域，"回归矩阵"（Regression Matrix）通常指代与线性回归模型相关的矩阵运算结构，其核心作用是建立自变量与因变量之间的数学关系模型。从汉英词典视角，"回归矩阵"可直译为 "regression matrix"，但在实际应用中对应多种具体矩阵形式：

设计矩阵（Design Matrix）
记作 $mathbf{X}$，是包含$n$个观测样本和$p$个自变量的$n times p$矩阵。其数学形式为： $$ mathbf{X} = begin{bmatrix} 1 & x{11} & cdots & x{1p} 1 & x{21} & cdots & x{2p} vdots & vdots & ddots & vdots 1 & x{n1} & cdots & x{np} end{bmatrix} $$ 其中第一列全为1，代表截距项。该矩阵用于构建线性回归方程 $mathbf{y} = mathbf{X}boldsymbol{beta} + boldsymbol{varepsilon}$（来源：James et al., An Introduction to Statistical Learning）。
系数矩阵（Coefficient Matrix）
在多元回归或多任务学习中，若因变量为多维向量，回归系数扩展为矩阵形式 $mathbf{B}$，满足 $mathbf{Y} = mathbf{X}mathbf{B} + mathbf{E}$。此处的$mathbf{B}$为$p times k$矩阵，$k$表示因变量维度（来源：MIT OpenCourseWare, Linear Regression笔记）。
投影矩阵（Projection Matrix）
矩阵 $mathbf{H} = mathbf{X}(mathbf{X}^Tmathbf{X})^{-1}mathbf{X}^T$ 被称为帽子矩阵（Hat Matrix），用于将观测值$mathbf{y}$投影到由$mathbf{X}$列空间生成的预测值$hat{mathbf{y}}$，即 $hat{mathbf{y}} = mathbf{H}mathbf{y}$（来源：Strang, Linear Algebra and Its Applications）。

关于“回归矩阵”的解释如下，综合多个来源信息整理：

回归矩阵（Regression Matrix）是统计学中用于描述多元回归模型的数学工具，通过矩阵形式表达变量间的线性关系。其核心是将多个自变量与因变量的关系整合为矩阵运算，便于参数估计和计算。

在多元线性回归中，模型可表示为： $$ Y = XA + epsilon $$ 其中：

通过最小二乘法求解回归系数时，关键矩阵运算为： $$ A = (X^T X)^{-1} X^T Y $$ 该公式成立的前提是设计矩阵X 列满秩，此时 $X^T X$ 可逆。这一过程体现了回归矩阵在参数估计中的核心作用。

回归矩阵的运算本质是寻找最优线性组合，使得预测值 $XA$ 与真实值Y 的残差平方和最小。这相当于在X 列空间上的正交投影，确保残差向量与所有自变量列向量垂直。

回归矩阵广泛应用于：

注：如需具体案例或扩展应用，可参考线性代数与回归分析教材进一步学习。